El Cinco, el quinto elemento

Ya tenemos los cuatro ladrillos básicos, los cuatro elementos, con los cuales construir la realidad. Y ahora, ¿qué?

Desde muy antiguo, se conocen cinco formas que, siendo muy regulares (todas sus caras y aristas son iguales), encajan perfectamente dentro de una esfera. Dado que Platón se ocupó de describirlas, se han venido llamando sólidos platónicos, pero se han encontrado copias en piedra muy anteriores a él.

Cuatro de estas formas corresponderían a los cuatro elementos.

-El tetraedro, el fuego:

Cuatro caras triangulares. La mínima expresión de la forma tridimensional: mínimo número de caras, caras con área mínima, mínimo volumen. Tiene forma de llama de vela, es el fuego de la intuición.

 -El octaedro, el aire:

Una doble pirámide: ocho caras triangulares. El aire siempre se identifica con la mente, que viene y va, que no se detiene nunca… Y que, en el Tarot, se representa como una espada de doble filo.

-El icosaedro, el agua:

El poliedro (de los sólidos platónicos) más cercano a la esfera, más “redondo”. Veinte caras triangulares. Es la estructura de la cápside de los virus (la cajita en la que viajan, para repartir su ADN por nuestro organismo y hacer que nos resfriemos). También es una forma relacionada con nuestro planeta, el planeta azul, acuático a pesar de llamarse “la Tierra”.

-El cubo, elemento tierra:

 

Seis caras cuadradas. Solidez, asentamiento, materia. El sólido más comprensible, más familiar.

-Y el quinto elemento: el dodecaedro, el éter:

Doce caras pentagonales. Nada fácil de dibujar, ni de imaginar, ni de construir. De los cuatro elementos inertes surge, inexplicable, la vida. El despliegue de lo vivo, la autorreplicación de lo vivo, la fuerza de lo vivo. Como esas hierbitas que siempre vuelven a salir entre los adoquines. Es una forma bellísima que encierra el secreto del Cinco, de la proporción áurea, de la espiral logarítmica, de la estrella pentagonal, de todo lo que crece y crece, y volverá a crecer.

Los cinco sólidos platónicos están interrelacionados de forma sorprendente. No hay más: son cinco y punto. (Si queréis algo más de información sobre sus propiedades y correspondencias, podéis ir a http://es.scribd.com/doc/70865609/CUERPOS-GEOMETRICOS).

Hemos de saber que la forma del dodecaedro no era “del dominio público” hace unos siglos. Hoy día podemos buscarla por internet como si fuese lo más natural del mundo, pero no siempre ha sido así. Se consideraba muy poderosa y, por tanto, secreta.

De hecho, un simple pentágono no era algo que cualquiera pudiese dibujar. Se necesita un cierto método, que no es tan obvio como el del cuadrado o el triángulo. Si bien es posible dibujarlo exactamente con compás, regla y lápiz, nadie ha dicho que sea fácil.

La estrella pentagonal, esa que sale en multitud de banderas, era asimismo un símbolo secreto. Malba Tahan explica que los pitagóricos la conocían. Relata la anécdota de cómo un viajero cayó enfermo, y entró en una posada. El posadero lo cuidó lo mejor que pudo pero el viajero, viendo que iba a morir, le dio un dibujo de la estrella pentagonal, diciéndole que lo clavase en su puerta. Mucho tiempo después, otro viajero vio la estrella, pagó la cuenta y dio las gracias al posadero.

Prueba a construir un nudo pentagonal. Coge una tirita de papel y hazle un nudo, como si fuese de cuerda. ¡Saldrá un pentágono!

Busca un método para dibujar un pentágono, a partir del círculo, o a partir del lado. ¿Lo hubieras adivinado sin que te lo explicase alguien?

Los números beben los unos de los otros. Pero, a pesar de que todos están relacionados, existen afinidades, familiaridades, amistades. Obviamente, el Dos y el Cuatro son muy amigos. ¿Y el Cinco? ¿Con qué otros números lo relacionarías?

Gracias, y comentarios sobre la bibliografía

Estoy muy agradecida a todas las personas que, a mi alrededor, se han interesado por las matemáticas, impidiendo que creyese que me estaba volviendo loca con mi compás, mis construcciones y mi mirada numérica posándose sobre edificios y naturaleza por igual (“¡mira, mira: ahí hay un ocho!”)

También gracias a mi familia, por entusiasmarse también, cada cual según su inclinación, y ayudarme tanto.

Y agradecimiento, y reconocimiento, a los siguientes libros y autores:

Schneider, Michael S. A Beginner's Guide to Constructing the Universe. New York: Harper Collins, 1994.

Es el libro más bello sobre teoría de números que he encontrado. Este blog bebe directamente de su fuente. Por desgracia, no está traducido más que al coreano y al holandés.

En él encontraréis gráficos e imágenes deliciosos, un acercamiento multidisciplinar a cada número y multitud de alusiones a todo tipo de saberes, que despertarán vuestra curiosidad por conocer más.

Altamente recomendable. Altamente recomendable. Altamente recomendable.

Lundy, Miranda et al. Quadrivium. New York: Walker and Company (Wooden Books), 2010.

“Quadrivium” es el nombre dado a  las cuatro vías, las cuatro ramas del saber científico antiguo: el álgebra, o estudio del número; la geometría, o estudio del número en el espacio; la música, o estudio del número en el tiempo; y la astronomía, o estudio del número en el espacio y en el tiempo (¡la música de las esferas!).

Se trata de varios libros en uno, de varios autores. El texto es impecable y los gráficos, impresionantes. Tardaréis tanto en leer uno como en mirar atentamente los otros.

Genial si queréis interrelacionar las cuatro disciplinas, o saber un poco (un poco muy digno) de cada una.

Altamente recomendable.

Michell, John y Brown, Allan: How the World Is Made. Rochester, Vermont: Inner Traditions, 2009.
John Michell fue el profesor de Michael S. Schneider, autor del primer libro de esta bibliografía. En realidad, con eso ya estaría todo dicho.

Michell fue un apasionado de los conocimientos antiguos, bellos y “holísticos”. Su descripción del Cinco, unida a la caída de la Atlántida tal como aparece en el Timeo de Platón, es increíblemente gráfica. Después de leerla, es imposible olvidar la diferencia entre el Cinco y el Seis.

Se trata de un libro de tapa dura y en color. Las ilustraciones son mayormente pinturas del propio Michell, que destilan paciencia, amor y respeto por la geometría,  y que te puedes quedar mirando durante largo rato. También hay gráficos hechos por ordenador para los diseños más complicados, aportados por Allan Brown; no desentonan en absoluto.

A pesar de estar perfectamente ordenado, es un libro laberíntico, como el mundo.

Altamente recomendable.

Stewart, Malcolm: Patterns of Eternity: Sacred Geometry and the Starcut Diagram. Edinburgh: Floris Books, 2009. 
Un estudio exhaustivo del "diagrama del contador de arena" que, además, revisa multitud de conceptos de la geometría sagrada. Un libro muy útil, especialmente para ver los mismos contenidos desde un ángulo ligeramente distinto. Muy recomendable.


Stewart, Malcolm: Symbols of Eternity: Landmarks for a Soul Journey. Edinburgh: Floris Books, 2011.
El complemento perfecto a Patterns of Eternity, para quienes nos quedamos con ganas de más: un viaje por diversos continentes y tradiciones, en primera persona.

Ouaknin, Marc-Alain: El misterio de las cifras. Barcelona: Robinbook (Ma Non Troppo), 2006.
Marc-Alain Ouaknin entiende muchísimo de cábala, de alfabetos antiguos, de cuadrados mágicos, de teoría de números, de historia de las matemáticas. Y lo sabe explicar a pequeños bocados, sin que nada se atragante.

En su libro encontraréis mil curiosidades interesantes. Si os atrae la relación entre alquimia, cábala y cuadrados mágicos, os lo recomiendo sinceramente.

Stewart, Ian: El laberinto mágico. Barcelona: Crítica (Drakontos), 2001.

Ian Stewart tiene la habilidad de explicar conceptos matemáticos complicados con toda franqueza, en lenguaje llano y abierto, con una fina ironía.

El libro es un viaje a través de diversas áreas de las matemáticas, de forma que todas acaban por caerte bien.

Contiene varias aproximaciones al triángulo de Sierpinski, a cual más fascinante.

Binimelis, María Isabel. Una nueva manera de ver el mundo. España: RBA Coleccionables, 2010.

El tomo sobre fractales de la colección “El mundo es matemático” de RBA Coleccionables. Técnico pero comprensible. Buenos gráficos y preciosas imágenes del conjunto de Mandelbrot.

Muy útil si queréis investigar sobre fractales.

Hart, George W., y Picciotto, Henry: Zome Geometry. Emeryville, California: Key Curriculum Press, 2001.

Es el manual asociado al juego de construcción Zome.

Para la geometría plana, os bastarán lápiz, regla, compás y papel. Para la geometría en tres dimensiones, se pueden construir modelos en cartón, pero es más interesante que sean transparentes, para ver bien las simetrías. El juego Zome lo permite y abre muchas posibilidades. Incluso se puede trabajar con Zome y sombras, Zome y burbujas de jabón…

Genial si os gusta hacer construcciones geométricas.

Bentley, Peter J.: El libro de las cifras. Barcelona: Paidós, 2008.

Un libro de divulgación matemática, que sigue un hilo suave a través de la historia de los matemáticos y los números del Cero en adelante.

Perfectamente documentado y muy ameno.

Crilly, Tony: 50 cosas que hay que saber sobre las matemáticas. Barcelona: Ariel, 2009.

De nuevo, una aproximación a realidades matemáticas en forma divulgativa. En cuatro páginas tamaño cuartilla, Crilly explica lo básico de conceptos como “el triángulo de Pascal”, “Fractales”, “Teoría del caos”, etc.

En blanco y negro, sencillo, con ilustraciones muy claras.

Grandes matemáticos desconocidos: Jámblico de Calcis (c.245-c.325)

Se le considera un neoplatónico; también conocía las ideas de Aristóteles. Por quien más se interesó fue… por Pitágoras.

Se sabe poco de su vida, aunque perduran algunas anécdotas sobre su carácter bondadoso y afable.

Una de sus aportaciones fue considerar la materia como algo divino. Los platónicos dividían entre lo imperfecto/material y lo perfecto/ideal. Jámblico no participó de esta división. Eso le honra, en mi opinión.

También consideraba que la mente por sí sola no podía llegar a la trascendencia, o no en todos los casos. Para lograrla, él proponía la teurgia, una forma de magia ritual que facilitaba la ascensión desde la materia hasta planos más elevados.

Jámblico fue transmisor de los conocimientos de los sabios egipcios. De hecho, muchos filósofos griegos bebieron de esas fuentes. Es indudable que los egipcios conocían, por ejemplo, la proporción áurea, ya que aparece a primera vista ¡en las pirámides! Los griegos a menudo se refieren a los sabios egipcios como “los antiguos”.

Jámblico de Calcis conocía la naturaleza de los números, por supuesto. Escribió: “El universo se origina en la mónada, gana movimiento gracias a la díada y vida gracias a la péntada”. También creía que la manifestación completa del universo se daba en la década, el Diez. Hoy los físicos, después de mucho calcular, afirman que nuestro mundo tiene diez dimensiones, de las cuales sólo vemos las tres primeras; las otras siete están dispuestas de tal forma que no alcanzamos a percibirlas.

El Cuatro

 Más allá del Tres, de la tríada, de la trinidad, ¿qué hay? Está, por ejemplo, el Cuatro.

“Eres un cabeza cuadrada”, “lo quieres todo cuadriculado”, o “no le busques tres pies al gato”, son ejemplos de la solidez del número Cuatro. Si con tres patas un taburete se aguanta bien, con cuatro ya tenemos una silla.

Los cuatro puntos cardinales, los cuatro palos de la baraja, los cuatro elementos, los cuatro estados de la materia (sólido, líquido, gaseoso, plasma).

Podemos recapitular el camino del Uno al Cuatro, haciendo estas correlaciones:

-Con un punto, tienes un punto, la semilla.

-A dos puntos, los puedes unir con una línea recta, el tallo.

-Con tres puntos, se forma un plano, la hoja.

-Con cuatro puntos, tienes un volumen, el fruto.

Estas analogías cautivaban a los antiguos griegos. Se dieron cuenta de que si ponías una bolita, y debajo dos más, y debajo tres más, y debajo cuatro... te quedaba un triángulo formado por diez bolitas. Lo llamaron la Tetraktys, para ellos era un diagrama de la creación. Juraban por ella, honrando la forma en que, a través de los cuatro elementos, se configuran las diez dimensiones.

El cuadrado es una expresión posible del Cuatro, en el plano. También se puede expresar a través de la cruz, sea del tipo que sea (hay una enorme variedad de cruces, eso sí, todas tienen, al menos, un centro y cuatro vértices).

Si queremos la mínima expresión del Cuatro en el espacio, habremos de mirar de nuevo hacia el Tres, y formaremos un poliedro de cuatro caras… triangulares. Es el tetraedro, una forma fuerte (mínimo número de caras triangulares, mínimo volumen englobado, configurando una estructura muy resistente).

Un experimento muy interesante consiste en sumergir un tetraedro hecho de alambre en agua jabonosa, y observar la burbuja que se forma dentro de él. Una burbuja siempre es la forma más económica y fuerte posible, y el tetraedro es fuerte de por sí… la combinación es sorprendente. ¡Hay incluso arquitectos que han usado este método para optimizar los materiales necesarios para crear una estructura!

También se relaciona el Cuatro con el cubo, el poliedro cuyas caras son seis cuadrados, y que se caracteriza por su solidez.

El Cuatro es un número donde la dualidad cabe “bien”: dos y dos son cuatro, y dos por dos también. Si partes el Cuatro en dos partes, y luego partes cada una en dos partes, tendrás un camino directo a la mónada (4, 2, 1).

Por su solidez, por su corporeidad, por ser el primer número que expresa volumen, el Cuatro tiene que ver con la materia en general, y con este planeta, la madre Tierra, en particular. Madre y materia tienen la misma raíz.

Los escaladores miden cuánto pueden abarcar con sus brazos, desde la punta del dedo corazón de un brazo, a la punta del dedo corazón del brazo contralateral. Si miden más así, “a lo ancho”, que en altura, es que su envergadura es especialmente propicia para la escalada, para "abrazar" el planeta. El ser humano medio (o la media de todos los seres humanos) tiene tanta altura como anchura, como se ve en el dibujo de Leonardo da Vinci, el Hombre de Vitruvio.

Mide tu altura en centímetros, y luego tu envergadura. ¿Serías buen escalador?

Los números, que ordenan el mundo

Durante toda la escolaridad de un occidental medio, es probable que la mención de las matemáticas sea sinónimo de orden. Si eres bueno en mates, es que sabes “abstraer”, que la cabeza te funciona más que bien. En cambio las letras, como la hombría al soldado, “se le suponen” a un alumno sin graves deficiencias.

Cuál fuera mi sorpresa cuando, hace bien poco, descubrí que la mayoría de los números (es más, la inmensa, la inmensísima mayoría de los números) no cumplen el requisito de orden que tanto predican los profes de mates. ¿Por qué? Pues porque casi todos los números son unos desordenados. Para empezar, no se pueden escribir enteros. O se podrían escribir contando con que el escriba fuese inmortal, lo cual no suele ser el caso.

Pongamos por caso el ejemplo de la raíz de 2. Si aplicas el teorema de Pitágoras a un triángulo rectángulo en el cual ambos catetos tienen valor 1, resulta que la hipotenusa vale… ¿cuánto? Intenta calcularlo, si es que recuerdas cómo hacer una raíz cuadrada: la raíz de 2 tiene infinitos decimales no periódicos. No es como dividir 1 entre 3, que no deja de ser un tercio, que viene a ser 0,3333333 y muchos más 3, cada vez más pequeñitos. No. La raíz de 2 te la tienes que calcular enterita para saber qué decimal viene luego. Y te puedes pasar la vida, y no acabarías.

Y dirás: es que es un número rarito. Pues de nuevo, no. Es un número normal. De hecho, la mayoría de números son así. Los raritos serían el uno, el dos, el tres…  Serían la excepción. La norma son los otros, esos números que nadie entiende, porque no se pueden ordenar en serio (¿cómo saber cuál es mayor que cual, si no sabes ni en qué decimal difieren, dado que tienen infinitos decimales?), porque no se pueden diferenciar a simple vista (¿y si el período es larguísimo, pero el número es periódico al fin y al cabo, lo que pasa es que no me he dado cuenta?), en definitiva, porque son todo lo contrario de lo que nos contaron que era un número. Son una chapuza, un chandrío, y no hay por donde cogerlos.

Cuando los griegos los descubrieron, se llevaron las manos a la cabeza y pensaron en una alfombra bien ancha y bien larga, para barrerlos debajo y que se quedasen calladitos allí.

Y hoy día todavía hay más: ahora existen números inexistentes, más raros que la raíz de dos. Números que contienen la raíz de -1. Sí señor. Que dirás: pero si la raíz de un número negativo no existe, porque me enseñaron que “negativo por negativo da positivo”, y para que un cuadrado dé negativo… ¡no se puede! Pues sí se puede, se salta por encima de ese imposible, se le llama “i”, o “j”, y adelante. Ya tenemos otro océano de números imposibles, que hay que forzar la mollera para imaginarlos: imaginarios, los llaman. Números imaginarios.

En medio de ese maremagnum, sobresaliendo como tímidas aletas de delfín en un mar de confusión, estarían los números que conocemos, amamos u odiamos: el uno, el dos, el tres… los números negativos… los decimales que sí sabemos adónde van, porque equivalen a un tercio, un cuarto, una doceava parte… Son motitas en ese mar de locos.

Todo esto me recordó mucho a lo que dicen de la mente: un porcentaje mínimo es consciente, y el resto pertenece al subconsciente. ¿Y qué es lo que nos mueve a hacer lo que hacemos, a enamorarnos de quien nos enamoramos, a decidir una cosa u otra, durante toda nuestra vida? Pues muchas veces no es la parte consciente, sino la otra: ese océano…

Además, estudiando fractales (que ya hablaré de ellos otro día, porque se merecen un apartado para ellos solitos), encontré una referencia al movimiento caótico de las partículas. Si miras una motita de polvo en un haz de luz, no puedes predecir para dónde irá después: a derecha, a izquierda, adelante o atrás, arriba o abajo… misterio. Se llama movimiento browniano. Y desmonta cualquier intento de sistematizarlo. Si quisiéramos dibujar una curva con ese movimiento, sería tan rara que no podríamos describirla con normalidad.

Y dirás: pues ese movimiento debe ser raro, improbable estadísticamente. Pues… no. Es de lo más probable. La naturaleza puede ser descrita con este tipo de movimientos, más que con las rectas de la clase de física newtoniana. Mira por dónde.

Así que tenemos un mar de números que nadie sabe cuáles son, un pozo en la psique que no tenemos ni idea de lo que contiene, y un universo físico que no podemos predecir adónde va. Mayormente, un caos.

Pero dentro de ese caos, un cosmos; belleza. ¡Maravilla!

Nota: Para quien quiera seguir explorando este tipo de contradicciones, ahí va esta: “se creía que, si no todas, la mayoría de funciones continuas eran derivables; se ha visto que no es así, y que la mayoría tienen puntos de los cuales es imposible encontrar la tangente”.

Las tres herramientas del geómetra

Los antiguos griegos creían en la geometría. Las demostraciones gráficas les parecían muy acertadas. Aunque venerasen al número, no necesitaban numerarlo todo.

Por ejemplo, hay un axioma que dice: en un triángulo, un lado es siempre menor que la suma de los otros dos.  Esto puede no ser evidente a simple vista, pero para los antiguos griegos había una demostración clarísima: si pones a un burro en uno de los vértices de un triángulo, y un puñado de grano en otro vértice, el burro jamás caminará a lo largo de dos lados para llegar al grano, sino que siempre recorrerá uno. Concluyeron que si un burro lo podía comprender, no hacía falta demostrarlo.

Tampoco necesitaban numerar la regla. Para ellos, el compás, la regla no numerada y el lápiz eran suficiente. Con estas tres herramientas cualquier geómetra que se preciara debía apañarse. Grandes demostraciones se llevaron a cabo con ellas.

Si quisiéramos relacionarlas con la moderna fórmula de Einstein, la energía es igual a la masa por la velocidad de la luz al cuadrado, podríamos decir que el compás es la velocidad de la luz, lo más inmaterial, el rayo primero que crea el primer círculo; la regla sería la energía, la distribución, la dirección que toma esa luz; y la masa sería lo más denso, es decir, el lápiz (y el papel). Desde ahora podemos mirar a estos tres instrumentos con renovado respeto.

¡Se puede comprender tanto con tan pocas herramientas!

Ten a mano compás, regla y lápiz. Te sacarán de más de un apuro, si sabes usarlos.

El Tres, el primero

Para los antiguos griegos, el Uno y el Dos no eran números en el verdadero sentido de la palabra. Siendo tan básicos, tan grandes, no se podían considerar más que como los progenitores de los demás números.

Y sumando Uno y Dos… llega el Tres. A la una, a las dos, y a las… tres. Hay algo entero en el tres, completo en sí mismo, a pesar de su austera simplicidad.

¿Cuántos mechones de pelo necesitas para hacer una trenza que aguante? ¿Cuántas patas tiene que tener un taburete para no caerse?

El Tres no es como el Uno y el Dos, eso está claro. Planteamiento, nudo y desenlace. Rojo, ámbar y verde. Nacer, crecer y morir. El ancho, el alto y el largo. Presente, pasado y futuro.

Aunque nace del Dos, ya que cada número nace de su predecesor y da vida a su sucesor en la serie de números naturales, no comparte su carácter bipolar. El Tres es el prefijo de tribunal: donde haya dos opuestos que no se aclaran, interviene un tercero (en forma de juez neutro) y aporta un cierto equilibrio. Un respiro para la danza de opuestos que es la díada. El fiel de la balanza, que ayuda a relacionarse a los dos platillos, dirimiendo sus diferencias.

Dibuja un redondel y luego otro, formando una vesica piscis. Dibuja otro más a partir de los anteriores. ¿Cómo llegas al triángulo? ¿Hay sólo uno?

Mira el arco de una puerta de iglesia. ¿Dónde está la piedra angular? ¿Ves el triángulo que forman el suelo y los dos lados del arco? Observa como el vértice del triángulo reparte la fuerza en dos partes, equitativamente, permitiendo el equilibrio. Lo mismo hace el sacro con nuestras dos piernas: somos un triángulo andante.

El triángulo tiene un vínculo con el círculo, por pura oposición. Dada una longitud que hará las veces de perímetro, si la disponemos en forma de círculo, tendremos englobada un área máxima. Si formamos con ella un triángulo, tendremos un área mínima. Resulta que son la forma más englobante (la circunferencia) y la menos englobante, la más “comprimida” (el triángulo).

Pruébalo. Coge un hilito y anúdalo. Ponlo de manera que forme una redonda, sobre papel cuadriculado, y cuenta los cuadraditos que contiene.

Ahora pon el hilo anudado en forma de triángulo, y cuenta los cuadraditos de nuevo.

Si dudas de que el círculo sea lo más englobante que existe, prueba cuadrados, rectángulos, pentágonos… hasta convencerte.

El triángulo también tiene mucha fuerza. Un tipo de fuerza “compacta”, que surge de su misma simplicidad, y que permite realizar con él estructuras gigantescas, como las cúpulas de Buckminster Fuller. 

Los tres usos de las matemáticas

Para los antiguos griegos, las matemáticas no eran lo que representan para nosotros.

La palabra mathema remite a “conocer”, a “saber”, y el objeto a conocer era… todo. Todo lo visible y lo invisible, lo de fuera y lo de dentro. Los mathematikoi tanto podían estar estudiando biología como parapsicología, cualquier ciencia quedaba dentro de su ámbito.

Primero, las matemáticas por supuesto trataban (entre otros asuntos) de números, que servían para contar. (Se dice que la geometría se “inventó” para calcular áreas de tierras fértiles en las riberas del Nilo; creo que es improbable. Había otras culturas, sin tanto interés por las riberas inundadas, que también sabían geometría. Todo esto, suponiendo que la geometría se pueda “inventar”.)

Segundo, las matemáticas se usaban para desentrañar simbólicamente la realidad. El número de oro nos remite a una infinitud de procesos y estructuras de la naturaleza, y eso induce al intelecto a maravillarse. La relación entre el círculo y su diámetro nos acerca  a los límites del número, y estirando la mente para llegar a los decimales de Π entendemos algo más sobre el Uno, sobre lo recto y lo redondo. Los números como símbolo del mundo nos hacen más inteligentes y un poquito más sabios.

Tercero, los números pueden llevar al intelecto más allá de sí mismo. La contemplación de un yantra o el acto de dibujar una estrella pentagonal son experiencias de vida, irrepetibles como un parto, como una muerte, de las cuales no se sale ileso. Eso también lo sabían los antiguos griegos. Los discípulos de Pitágoras hasta juraban por los números (por los números del Uno al Diez, dispuestos en forma de triángulo de cuatro filas, lo que ellos llamaban la Tetraktys), sabiendo que así no podrían mentir.

De modo que las matemáticas sirven al menos para tres cosas: para contar, para entender, y para ser. Cómo cada cual las use dependerá… de cada cual.

El Dos

Cuando la mónada se aburrió de ser tan completa, tan perfecta y tan autosuficiente, ¿qué hizo? Se desdobló, y de allí salió la díada, el Dos.

Coge un compás y haz un redondel. Luego pincha en cualquier punto de la línea de la circunferencia y, sin cambiar el radio, haz otro redondel. Verás dos redondas que se cruzan. El espacio común se llama mandorla (porque parece una almendra), o también vesica piscis. Recuerda a una abertura, a una puerta… 

Del reflejo del Uno sale el Dos. Del reflejo del punto salen dos puntos: una línea. El Dos es una línea, una posibilidad de desplazamiento, una cierta dimensión, un principio de movimiento. El Dos va: va, y vuelve.

Hay religiones que entienden el mundo precisamente como un reflejo del Dos: una dualidad. Nos movemos entre pares de opuestos: estamos bien o mal, experimentamos placer o dolor, vivimos o morimos. La existencia está plagada de pares de opuestos, entre los que basculamos.

Párate, si quieres, a pensar en la tremenda dualidad del lenguaje. Piensa en una lista de contrarios: alto-bajo, bonito-feo, guerra-paz, hombre-mujer, sano-enfermo… ¿Cómo conforman nuestro pensamiento? ¿Vemos más allá de las dualidades?

El Dos es un número móvil e inestable. No existen las sillas de dos patas. El Dos está tan polarizado que fácilmente entra en conflicto: estás conmigo o estás contra mí. Es el número-columpio, el número de la oscilación entre dos polos.

Al mismo tiempo, el Dos está muy cerca del Uno. Tan cerca, que aún no lo ha olvidado. Sabe que vino del Uno, y que volverá a él, que la oscilación cesará un buen día. A veces el Dos desea volver al Uno, y entonces se potencian sus características colaborativas. Otras veces, quiere separarse de la fuente de la que salió: es en vano, pero el Uno lo permite, porque así es el Uno: englobante. Entonces se refuerza la cara conflictiva del Dos.

Coge una tira de papel y haz un redondel con ella. ¿Cuántas caras tiene el redondel? Fácilmente dirás que tiene dos: una dentro y una fuera. Pero prueba ahora otra cosa: con la misma tira de papel, gira uno de los extremos y vuelve a juntarlo con el otro. ¿Cuántas caras tiene ahora el redondel? Ya no es un redondel… ¿dónde quedó el Dos? Ahora hay una cara solamente.

Si lo quieres ver más claro, pon “banda de Moebius” en un buscador; pero te aconsejo que también cojas una cinta y lo hagas tú.

También puedes recortar la cinta longitudinalmente, por la mitad; cuando hayas dado la vuelta entera con las tijeras, ¿cuántas cintas te quedarán?

Giotto y el círculo

Giotto (1267-1337) no era cualquier pintor. Ya de pequeño, dibujaba con naturalidad y realismo. Además, era un bromista: una vez, pintó una mosca en un retrato, tan bien, que su maestro intentó espantarla.

Su fama llegó a oídos del papa Bonifacio VIII, que le pidió una muestra de su arte, con tal de evaluarlo y decidir si debía encargarle trabajos. Giotto cogió un lienzo en blanco y un pincel, y dibujó, a mano alzada, un círculo perfecto. Esa fue la muestra que el papa valoró.

Debió gustarle, porque Giotto trabajó durante muchos años para la iglesia.

¿Qué creéis que vio Bonifacio VIII, en aquel redondel perfecto?

Grandes matemáticos desconocidos: Fra Luca Pacioli (1445-1517)

Este señor fue el profesor de mates de Leonardo da Vinci, lo cual no es poco. 

Cuando era pequeño, su propia educación estuvo más enfocada, en principio, a aspectos prácticos de las matemáticas; le enseñaron la parte mercantil. Luego, ya de adulto, Luca Pacioli estudió, desarrolló y enseñó indistintamente la contabilidad, la geometría, la aritmética… incluso la magia. El tratamiento “Fra” se debe a que se hizo fraile franciscano.

De lo que escribió, conocemos las siguientes obras:

-Tractatus mathematicus ad discipulos perusinos : un manual de contabilidad para los estudiantes de la Universidad de Perugia. Se le considera un pionero en este ámbito.

-Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalità: explicación exhaustiva de todas las áreas de las matemáticas, hasta donde se habían desarrollado en 1494. Incluye un tratado de biblioteconomía, que explica cómo ordenar los libros en las estanterías. También hay una parte, dedicada al álgebra, que Pacioli no escribió en latín, sino en su lengua vernácula; se aprecia su interés por difundir el estudio de los números, y no sólo entre los que sabían lenguas clásicas.

-De viribus quantitatis: tratado de magia. Enigmas matemáticos, juegos de cartas, malabarismos, cómo tragar llamas… ni más ni menos que el fundamento de la magia, y la prestidigitación, modernas.

-De divina proportione: estudio de polígonos y poliedros (entre ellos, los sólidos platónicos), la proporción áurea, el uso de la perspectiva… un gran tratado de geometría, con referencias a la obra de grandes artistas (como Piero della Francesca). Leonardo da Vinci hizo las ilustraciones.

¿Por qué es especial, para mí, Fra Luca Pacioli?

Porque antes de que nadie describiese lo que era un logaritmo, él ya los usaba.

Por su interés enciclopédico en todo tipo de estudios, en especial en los relacionados con los números.

Por su reconocimiento explícito, y su afán divulgativo, de temas tan importantes como la proporción áurea, cuyo conocimiento otros se empeñaban en ocultar.

Porque, como Jámblico de Calcis, se interesó por la magia. Estoy segura de que sabía mucho más de lo que escribió.

El Uno y el círculo

Si os habéis quedado alguna vez mirando una circunferencia, sabéis que no tiene principio ni fin.

Todas las circunferencias se parecen, unas más grandes, otras más pequeñas… claramente, son todas de la misma familia. 

La circunferencia (y el área que delimita dentro de sí, o sea, el círculo) remiten de forma automática a cierto número: el Uno.

¿Por qué? Pues porque todos los puntos de la circunferencia, estén donde estén, “miran” siempre a un mismo y único lugar: el centro. Ese sitio, invisible (salvo por la marca que deja la aguja del compás), rige la posición de todo lo que sí se ve; define sin excepción todos los puntos de la circunferencia.

Prueba a coger un compás y haz algunas redondas. Pruébalo también sin compás, con la mano izquierda, con la derecha. Pruébalo con los ojos cerrados. Pruébalo con música. Contempla la tribu de redondeles que has creado.

La circunferencia tiene otra particularidad: es siempre tan grande como puede ser. Por ejemplo: imagina que te apetece llenar tu plato de comida en un buffet libre. Y que tienes a tu disposición platos redondos, triangulares, cuadrados, pentagonales, hexagonales… ¿Qué plato cogerás, para llenarlo al máximo y hacer el mínimo de viajes al buffet?

Si dudas del enigma anterior, compruébalo. Coge papel cuadriculado, y un hilo atado por sus extremos, de forma que puedas formar con él una redonda, un rectángulo, un triángulo… prueba todas las formas que te apetezcan, y cuenta los cuadraditos de papel que caben dentro de cada una.

Como número, el Uno tiene una personalidad curiosa. Es a la vez gregario y autosuficiente. El Uno cabe en cualquier otro número, como divisor universal se mezcla con todos los demás sin problemas, pero al mismo tiempo es tan completo en sí mismo, tan perfecto, que no le hace falta nada. Los demás son solamente un desarrollo del Uno, añadidos, como el plural lo es del singular.

Si algo nos queda muy bien hecho, decimos que “nos ha salido redondo”. Quizá por eso el Uno remite, entre otras cosas, a Dios, a la fuente.

¿Nos han robado las mates?

Dice el refrán: “te mates por lo que te mates, no te mates por las mates.” Muchos lo hemos tomado al pie de la letra, sabiendo que los malabarismos numéricos nos superaban.

Pero ¿qué pasaría si los números fuesen, en verdad, una puerta privilegiada? ¿una vía de entendimiento? ¿el esqueleto de la realidad, y no una vestidura?

Entonces, enemistarnos con  las cifras, mirar con sospecha los botones de la calculadora científica, pensar que con saber las cuatro reglas ya tenemos bastante… nos dejaría más pobres, más pequeños, más solos.

Aunque soy filóloga, me encantan los números. He visto que cada uno de ellos me puede enseñar mil secretos. Y, desde que me he hecho más amiga de los números, el mundo es de colores nuevos.

¿Os venís de viaje matemático?