El infinito es para la mente como una luz brillante para una polilla: la atrae irremisiblemente, pero puede quemarse contemplándola. Lo infinito, lo que no tiene límite, desafía a nuestras funciones mentales, normalmente acostumbradas a ir "paso a paso".
Una cosa curiosa que tiene el infinito es que cuanto más lo buscas, más lo ves, pero no por verlo lo entiendes... Incluso puedes cruzártelo en lugares donde pensabas que jamás lo encontrarías. Esto lo entendió el filósofo griego Zenón, que ya en el siglo V a.C. inventó esta paradoja relacionada con el infinito:
"Aquiles, gran corredor, participa en una carrera con una tortuga como contrincante. Dada la desigualdad de fuerzas, le da ventaja. Cuando finalmente Aquiles empieza a correr, llega un punto en que va a alcanzar a la tortuga. Pero mientras la alcanza, la tortuga ha caminado un poquito más. De modo que Aquiles tiene que avanzar aún un poco. Pero mientras Aquiles cubre esa distancia que le queda, la tortuga ha seguido avanzando. Así... para siempre." Por supuesto, descomponiendo el recorrido de la tortuga en pedacitos cada vez más pequeños, parece que Aquiles no la vaya a pillar jamás. La cuestión es que podemos partir ese recorrido en tantos pedacitos como queramos. El número de pedacitos que podemos hacer es infinito.
El infinito es infinitamente grande... e infinitamente pequeño.
Se trata de una paradoja que es, a la vez, una falacia. ¿Acaso no podrá Aquiles alcanzar, y adelantar, a la tortuga? Sí que podrá. Pero visto a cámara lenta, y fijándonos solamente en el movimiento de avance de la tortuga, se puede hacer que lo obvio parezca imposible. Es lo que pasa cuando se empieza a pensar en términos infinitesimales.
Otra curiosa cuestión es que hay infinitos e infinitos. Por ejemplo, hay infinitos números naturales: 1,2,3,4,5... tantos como queramos. Pero también hay infinitos números naturales pares: 2,4,6,8,10,12... Comparar las dos series es desconcertante: aunque las dos son infinitas, ¿no debería una ser "el doble de infinita" que la otra? Pues no. En el infinito estas fronteras de doble o mitad se difuminan... La mitad del infinito es infinita, y el doble también.
Al menos la serie de los números naturales, y la de los números naturales pares, se dejan ordenar en su infinitud. También se dejan ordenar los números fraccionarios: el 1,9999999... va antes del 2, siempre. Si ordenamos los números fraccionarios, veremos que hay infinitos y que están "muy juntos", más juntos que los números naturales. Aunque, ¿importará mucho lo juntos o separados que estén, si hay infinitos? Da que pensar.
Si en vez de fijarnos en los números naturales, o en los fraccionarios, nos fijamos en los irracionales, entonces empiezan los mareos de verdad. Para empezar, son legión. Hay más irracionales que fraccionarios. ¡Pero si había infinitos números fraccionarios! Pues hay un infinito más "denso" de irracionales. Y con sus infinitos decimales no periódicos, ¿cómo se podrían ordenar? Si no sabemos cómo acaban. Son mayoría en la recta real, pero no se puede decir que los sepamos alinear entre ellos. Podemos compararlos con los naturales, por ejemplo. La raíz de 5 está entre el 2 y el 3. Pero eso no es decir mucho, puesto que hay infinitos números entre el 2 y el 3. Como aproximación, es un tanto vaga.
Viendo las variedades de infinito que hay, todas ellas infinitas, Georg Cantor (1845-1918) les dio muchas vueltas, hasta que definió diferentes órdenes del infinito... y fue internado en una clínica psiquiátrica. Nos damos por avisados.
Otra curiosa cuestión es que hay infinitos e infinitos. Por ejemplo, hay infinitos números naturales: 1,2,3,4,5... tantos como queramos. Pero también hay infinitos números naturales pares: 2,4,6,8,10,12... Comparar las dos series es desconcertante: aunque las dos son infinitas, ¿no debería una ser "el doble de infinita" que la otra? Pues no. En el infinito estas fronteras de doble o mitad se difuminan... La mitad del infinito es infinita, y el doble también.
Al menos la serie de los números naturales, y la de los números naturales pares, se dejan ordenar en su infinitud. También se dejan ordenar los números fraccionarios: el 1,9999999... va antes del 2, siempre. Si ordenamos los números fraccionarios, veremos que hay infinitos y que están "muy juntos", más juntos que los números naturales. Aunque, ¿importará mucho lo juntos o separados que estén, si hay infinitos? Da que pensar.
Si en vez de fijarnos en los números naturales, o en los fraccionarios, nos fijamos en los irracionales, entonces empiezan los mareos de verdad. Para empezar, son legión. Hay más irracionales que fraccionarios. ¡Pero si había infinitos números fraccionarios! Pues hay un infinito más "denso" de irracionales. Y con sus infinitos decimales no periódicos, ¿cómo se podrían ordenar? Si no sabemos cómo acaban. Son mayoría en la recta real, pero no se puede decir que los sepamos alinear entre ellos. Podemos compararlos con los naturales, por ejemplo. La raíz de 5 está entre el 2 y el 3. Pero eso no es decir mucho, puesto que hay infinitos números entre el 2 y el 3. Como aproximación, es un tanto vaga.
Viendo las variedades de infinito que hay, todas ellas infinitas, Georg Cantor (1845-1918) les dio muchas vueltas, hasta que definió diferentes órdenes del infinito... y fue internado en una clínica psiquiátrica. Nos damos por avisados.
