Dosis de cuatro y seis

La estabilidad del cuatro, matizada por el equilibrio del tres y la armonía del seis. 

 

Los ángulos del doce

Con el geoplano circular de doce puntos, construimos un dodecágono.

Nos preguntamos sobre los ángulos que se ven en esa figura. ¿Se pueden deducir, sin medirlos?

A veces, algo parece de verdad, pero no encaja. Como en esas películas antiguas de Godzilla, donde un bicho prehistórico enorme se mueve rápido como un insecto. ¿Por qué no nos lo creemos? Porque hay algo que todo animalucho, grande o pequeño, tiene en común, en este planeta: la ley de la gravedad. Y un monstruo grandioso no puede moverse de según qué manera. Se caería, o la inercia haría que fuese más patoso, más lento.

En el plano, en relación con los polígonos regulares, hay una "verdad" que hará las veces de la fuerza de la gravedad: el hecho de que dividimos la circunferencia en 360 grados. (Claro, en una idea euclidiana del plano. Si eres Lobatchevski, tus planos son harina de otro costal.) 

Se puede pensar que ese número, el 360, es una convención. Pero el hecho de que el Doce y sus múltiplos se usen, muy a menudo y en culturas diversas, para dividir espacio y tiempo... no es casualidad. El Doce tiene muchos divisores (1, 2, 3, 4, 6, 12) y eso facilita la tarea. ¡Participa de las cualidades de todos esos divisores! El Doce se ha ganado las funciones que desempeña por derecho propio.

Entonces, partimos de un polígono que divide una circunferencia plana de 360º en 12 partes iguales. En el ángulo central, ¿cuánto le toca a cada parte?

¿Lo calculas tú?

Luego queremos saber el ángulo en el vértice del polígono. No sabemos cuál es, en el dodecágono. Vamos a ver si lo deducimos.

Sí que sabemos que en el triángulo regular, ese ángulo es de 60º. El central es de 120º (porque 360º entre tres lados, toca a 120º por lado).

También sabemos que en el cuadrado, ese ángulo en el vértice es de 90º. El central es de 90º (porque 360º entre cuatro lados, toca a 90º por lado).

Del pentágono, imaginad que no nos acordamos del ángulo en el vértice. El central es de 72º.

También sabemos que en el hexágono, ese ángulo en el vértice es de 120º. El central es de 60º (porque 360º entre seis lados, toca a 60º por lado).

Miramos los resultados:
-triángulo: 60º y 120º.
-cuadrado: 90º y 90º.
-hexágono: 120º y 60º.

Sospechoso... todos los resultados suman 180º.

Entonces, si tenemos un dodecágono: el ángulo central sería de 30º (360º entre doce partes) y el ángulo en el vértice sería de 150º. Juntos, 30º y 150º (raíces digitales: 3 y 6) suman 180º.

Entonces podemos deducir este otro ángulo, el del "quesito" de 1/12 parte del círculo, el que resulta de coger 30º en el ángulo central: es la mitad del ángulo de 150º, por lo tanto, 75º (raíz digital: 3).

Y podemos mirar el rectángulo que podemos hacer cruzando el dodecágono, formado con cuatro ángulos rectos, y este triángulo que lleva dentro:

Haciendo los cálculos sabiendo que los ángulos del rectángulo son rectos, veremos que el ángulo chiquito, agudo, es de 15º, y el grande, obtuso, es de 150º (de nuevo, raíces digitales 6 y 6).

Investigad qué pasa con el otro rectángulo, el mismo que también se forma en el hexágono regular, ése que se llama "rectángulo dinámico raíz de tres".

Dentro del Doce viven sus divisores. Por eso es capaz de hacer aquello que hace.

Se puede seguir, investigando los ángulos presentes en las estrellas dodecagonales.

Viendo la multitud de formas que se encuentran en del dodecágono, su belleza, su fuerza, su rectitud... ya no nos va a parecer tan extraño que se haya usado el Doce para contar tantas cosas. 

Números chinos: el Dos y el Siete

Voy a continuar relacionando conceptos numéricos con nociones de la medicina china (y occidental).

En la cosmogonía china, el Dos y el Siete corresponden al Fuego. 

Corresponden a un órgano: el Corazón. A una víscera: el Intestino Delgado. Por si acaso faltaban más atribuciones, corresponden también a Pericardio (la membrana que envuelve y protege al Corazón) y a Sanjiao (un concepto chino que interrelaciona las tres partes del tronco: Jiao Inferior sería el bajo abdomen, Jiao Medio estaría al nivel del estómago, y Jiao Superior se situaría por encima del diafragma).

Son muchas atribuciones. El Fuego, esa llama imposible de agarrar, necesita de una explicación larga, porque participa en multitud de procesos, algunos de los cuales son invisibles.

Para empezar, el Dos y el Siete no comparten la misma estrecha relación geométrica de la que participan el Uno y el Seis.

El Dos es la intersección de dos Unos, la unión de Dos círculos: el resultado es una forma de almendra, la vesica piscis: una abertura, una puerta. También se asemeja a la llama de una vela.

El Siete es un número esquivo, tanto geométricamente como en la naturaleza. Es imposible dibujar un heptágono exacto usando un compás, una regla y un lápiz, consideradas las tres herramientas del geómetra. Y hay pocas formas heptagonales en el mundo natural. 

Sin embargo, el Siete está en todas partes, lo que ocurre es no se muestra directamente. Los Siete días de la semana, los Siete colores del arco iris, los Siete sistemas cristalinos, las Siete notas de la escala musical, son formas en las que se organizan la luz, el tiempo y el espacio.

El número Dos apunta al eje que une "arriba" y “abajo". Y el Siete es la forma en que se juntan “arriba” y “abajo”, aún invisibles, o bien escondiéndose a la vista de todos.

El Siete puede relacionarse con el Fuego y el Corazón, a través de un sólido poco conocido: el Chestaedro.

Existen cinco sólidos platónicos, y no hay posibilidad de que existan más: solamente cinco formas convexas encajan exactamente en una esfera, si sus caras son iguales y sus vértices tocan la esfera. Son el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. Es curioso que ninguno de estos sólidos tenga que ver con el número Siete. El Siete escapa a la forma.

Entonces llegó Frank Chester, a la vez geómetra y artista, y se propuso encontrar un sólido que materializase el número Siete. Y lo consiguió. Es el Chestaedro, formado por cuatro triángulos equiláteros y tres cuadriláteros en forma de cometa. Las Siete caras tienen la misma superficie, pero se necesitan Dos formas diferentes para construir un Chestaedro. Tiene Siete vértices. Si bien es cierto que no encaja en una esfera, tiene muchas otras cualidades.

El Chestaedro, si se deposita en un cubo, se sitúa exactamente en el mismo ángulo en que se encuentra el Corazón dentro de la caja torácica humana.

Si se mete en agua y se lo hace girar, se crea una forma acampanada, que da lugar a Dos vórtices de burbujas, uno que apunta hacia arriba, y otro hacia abajo.

En los últimos siglos, se ha extendido la noción de que  el órgano llamado "corazón" es un mecanismo de bombeo. En medicina china clásica, el Corazón no bombea la sangre: la gobierna. Se informa a través de ella y le da, a su vez, instrucciones. 

Thomas Cowan, un médico estadounidense, explica cómo la sangre tiene su propia fuerza motriz, derivada de las propiedades del Agua viva que la compone. Gerard Pollock es un físico que ha investigado lo que él llama "la cuarta fase del agua": cuando no es sólida, ni líquida, ni gaseosa, resulta ser una especie de gel con propiedades especiales. De esta forma, la sangre se impulsa a sí misma; no es gracias a ningún bombeo. 

El Corazón escucha a la sangre. De esta manera, sabe lo que está pasando en todas partes del cuerpo, “abajo”. También sabe, si puede re-cordar (de cor, cordis, corazón), todo lo que sucede “arriba”. Para eso sirve el Shen (el espíritu, la consciencia, lo que nos mantiene atentos, conectados). Así, el Corazón es de alguna manera la encarnación de la dualidad: la reconciliación de lo invisible dentro de lo visible, un vínculo entre cielo y tierra. La realización de un eje vertical.

Anatómicamente, el Corazón se divide en Dos partes: una aurícula y un ventrículo para la circulación de sangre desoxigenada que irá a los pulmones, a la derecha, y otra aurícula y ventrículo para la circulación de la sangre oxigenada que irá a todo el cuerpo, a la izquierda. Dos conjuntos diferentes de sangre, que no se pueden mezclar, separados por el septum. El Corazón también se relaciona con el número Dos por su ritmo: hace dos ruidos consecutivos, “bum-bum”, moviendo aurículas y ventrículos, y luego calla antes de comenzar de nuevo.

Hay cardiólogos que relacionan la forma del Corazón con una banda de Moebius;  con una espiral, cuyos extremos aún no conocemos; con un torbellino que se expande y así genera un campo electromagnético particular, cuyo alcance se mide en metros. Se basan en la anatomía y en una observación cuidadosa de la fisiología. Buscad a Hu Houxiang, Francisco Torrent-Guasp, a Manel Ballester, a Sergio Mejía.

El Intestino Delgado también tiene que ver con el Dos, debido a su naturaleza dicotómica. Se dice que es donde está el “cerebro entérico”. Cuando el contenido del Estómago alcanza el Intestino Delgado, es el momento para el cuerpo de tomar una decisión: o bien es considerado alimento y será absorbido, bañado en bilis y jugos pancreáticos, continuando su viaje hacia el interior y hacia abajo, en dirección al Intestino Grueso; o bien puede aún ser expulsado, hacia arriba y hacia afuera, si se considerase imposible su asimilación.

Si se ha ingerido un veneno, de lo que se decida en ese punto dependerá nuestra salud. Una vez en el duodeno (la primera porción del intestino, justo saliendo del estómago), empieza el proceso de integrar aquello que venía de fuera hasta el último rincón del cuerpo, hacia el interior de cada célula. Se trata de una actividad no por automática menos íntima, en la que se reconcilian lo externo y lo interno.

En la entrada anterior y en ésta, se ha hablado del Agua y el Fuego: el Uno-Seis y el Dos-Siete.

En la Grecia antigua, el Uno y el Dos no se consideraban números, sino “los padres” de las demás cifras. Igualmente, el Agua y el Fuego son el eje básico de los cinco elementos chinos, y de la alquimia occidental. 

Se dan muchas correspondencias paradójicas entre ellos. En sus representaciones a través de los trigramas del Yijing, un libro oracular antiquísimo, esto queda reflejado en el hecho de que Li (el Fuego) es la imagen invertida de Kan (el Agua).

Por si queréis saber más sobre el Yijing y estas imágenes...

Existen ocho trigramas. Dos tienen solamente un tipo de líneas: Cielo (enteramente compuesto de líneas Yang) y Tierra (todo Yin). Cielo y Tierra son estáticos, son el primero y el último estado, de la potencia infinita a la materia consolidada. Pero esto es así en un primer esquema: el del Cielo Anterior. 

Luego el universo se desarrolla, y en las posiciones de Cielo y Tierra se alojan otros dos trigramas. ¿Cuáles? Fuego y Agua. Son como Cielo y Tierra, pero en movimiento. En acción. En el esquema del Cielo Posterior.

El hecho de que Cielo y Tierra cedan sus posiciones nodales, de Sur y Norte, Lao Tse (Laozi) lo atribuye a que son virtuosos. Y eso es, precisamente, lo que los hace eternos.

Fuego y Agua no se quedan quietos. Sus cualidades nacen de su capacidad para relacionarse, para disolver, para quemar, para enfriarse y calentarse mutuamente. Son un eco, un poco más concreto, de Cielo y Tierra. Pero ver a Fuego y Agua es como mirar los movimientos del metabolismo, el día y la noche. El hecho de que sean reconciliables y trabajen juntos es una paradoja que cada cual tiene que desentrañar.

Dosis de Doce y Ocho

 Una mezcla de rosa de los vientos y reloj.

Números chinos: el Uno y el Seis

Los chinos sabían de números. En el mundo occidental no solemos citar fuentes orientales, pero las hay. Y muchas veces son más antiguas que sus correlatos europeos.

Los chinos sabían que los números tenían una naturaleza intrínseca, más allá de sus usos "para contar", más allá de sus características algebraicas. En la entrada Los tres usos de las matemáticas, se habla de la naturaleza simbólica, e incluso ontológica, inherente al concepto de cada número; no me cabe duda de que los chinos conocían estos aspectos y los empleaban.

No me cabe duda. Además, la forma en que lo hacían es totalmente coherente con la filosofía perenne occidental; con la teoría de números desarrollada, desde antes de Pitágoras, en occidente.

Para la cosmogonía china, existen cinco elementos, cinco fases, cinco maneras de ser y de estar en el mundo. 

Son el Agua, el Fuego, la Madera, el Metal y la Tierra. 

Estas cinco fases nacen de la dualidad misma. En el Libro de los ritos, que detalla las ceremonias chinas de los siglos VIII al V a.C., se describe el proceso de creación de estas cinco fases, a partir del cielo y de la tierra:

"Primero, el cielo engendró el Agua. Segundo, la tierra engendró el Fuego. Tercero, el cielo engendró la Madera. Cuarto, la tierra engendró el Metal. Quinto, el cielo engendró la Tierra. Sexto, la tierra completó el Agua. Séptimo, el cielo completó el Fuego. Octavo, la tierra completó la Madera. Noveno, el cielo completó el Metal. Décimo, la tierra completó la Tierra."   

¿Qué implica que el Agua aparezca en primer lugar, y se relacione con los números Uno y Seis?

Como se puede leer en esta entrada, el Uno y el Seis tienen una relación muy estrecha. El radio de una circunferencia es igual al lado del hexágono que se puede dibujar dentro de esa circunferencia. Esto solo ocurre entre esas dos realidades numéricas. El Seis es, pues, una forma de hacer al Uno algo más sólido, más corpóreo. Es el camino del círculo al hexágono.

El Seis se relaciona con el Agua. Si cristalizas agua, obtienes nieve: cristales hexagonales, agua sólida.

El doctor Ángel Escudero, que opera sin anestesia y sin antibióticos, habla sobre el agua y el Seis en el minuto 7:50 de este vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=09GbqAUFd7I&t=477s

El Uno es el principio, el número por el cual se empieza a contar. También se relaciona con el concepto de Unidad: el Uno es "todo junto", en el sentido de que todo lo que se manifiesta proviene de la misma fuente: el universo, Dios, el “big bang”... hay muchos nombres para designar la Unidad. Que cada cual elija el que mejor le convenga.

El Agua, como representante del Uno, está cerca del principio, próxima a la fuente. En medicina china, el Riñón, órgano de Agua, se considera la fuente y el origen del cuerpo. El Uno es lo primero que se supo, el primer recuerdo del universo, el primer lugar donde ese recuerdo se pudo guardar. 

Así pues, el Agua también se relaciona con la memoria: guarda información. Su relación con el Riñón y, por tanto, con el sistema nervioso y con el esqueleto, también tiene que ver con guardar memorias. El Agua recuerda, los huesos también, y el impulso nervioso crea un surco de memoria. (El Feng Shui, que se ha popularizado incluso como una técnica decorativa, se usaba antiguamente ,para saber dónde enterrar a la propia madre, dado que los huesos de la madre resuenan, aun después de muerta ella, con los de sus descendientes.) 

El Uno es la forma más eficiente de abarcar un área máxima, o de incluir el mayor volumen posible: se logra esto usando un círculo, o una esfera. Los cilindros también son manifestaciones alargadas del Uno. Esto significa que el Uno es una buena manera de guardar cosas, y precisamente el invierno, asociado al Riñón, es el momento de almacenar. 

El Uno es, aquí, el primer número. Por lo tanto, en este sistema, el Uno es lo más cercano que hay al Cero. El Agua, en su capacidad de ser amorfa e indiferenciada, de adaptarse perfectamente a un recipiente que la contenga, de fluir sin resistencia, de superar con el tiempo cualquier obstáculo, es lo más próximo al Cero que hay. Sin embargo, el Cero está más allá de los números. El Cero es previo al universo, anterior al “big bang”, es un océano infinito de Nada. El Cero es parecido al Tao. 

El Agua tiene mucho que ver con el resto de los Elementos, y sirve para comprenderlos, de la misma forma en que el Uno es el origen de todos los demás números: no son sino variaciones o divisiones de la Unidad. El Uno está en todas partes, engloba todo con facilidad, no hay nada que exista que le sea ajeno.

Dosis de espiral áurea

 Para fluir, para crecer, para expandir. Si se mira en sentido horario, para recogerse.

Dosis de tres y dos

 Para disponer de fuerza. Para traer al mundo, a la dualidad.

Dosis de Cuatro

 Para organizar, ubicarse en una brújula. Para enmarcar, para decidir hasta dónde.

Dosis de Nueve

 El límite, el horizonte, una manera de enmarcar.

Para personas que, hacia fuera, han llegado muy allá; y que ahora van hacia adentro, a asimilar, a integrar.

Tampoco viene mal en este momento, para integrar los últimos días de 2022.

Dosis de Cinco

 La chispa, el vínculo, el puente, la regeneración, la espiral, la risa.

Y también: la estrella, la protección gracias a la propia energía y la propia integridad.

Feliz 2023.

Dosis de Uno y Seis

En esta geometría, que se llama "The Lover's Knot" y que ya había dibujado anteriormente, se pueden ver las relaciones armónicas que entrelazan al Uno y al Seis. 

Están subrayados también el Dos (en las distintas sombras del azul) y el Tres (en las formas triangulares que se entrelazan). El Dos y el Tres son factores del Seis, de modo que no es sorprendente que aparezcan.

Esta configuración se diseñó para ayudar con la palabra y la fuerza; para perderle el miedo al Uno viendo su forma de expresarse a través del Seis.

Hay un error, que no subsané porque a veces los errores añaden información que, de otro modo, no aparecería. En este caso aporta ligereza y ayuda a ver las cosas desde otros ángulos.

Dosis de números

Se pueden usar los números para aquello que son. Por ejemplo, este dibujo es un 1-2-3-6: subraya la unidad (1), la dualidad (2), la fuerza-equilibrio (3) y la estructura en contacto con la unidad (6). 

Aquí hay otros ejemplos. Un 2-4-6, que también se puede usar en horizontal:

Un 8, para ascender haciendo merecidas pausas de descanso.  "La luz baja por el 6 y sube por el 8".

Dos 5: la chispa. Uno más yang, otro más yin. El que es más yin, que es mullido y englobante, lo dibujé para ayudar con la tos: 

Un 7, para ver un poco más allá:

Mi impresión al dibujarlos es que el tiempo se frena, y aunque solo fuese por eso, ¡lo recomiendo! También que no se puede decidir exactamente cómo será un dibujo: tienen vida propia y se van trazando sobre la marcha, hay un componente de sorpresa.

Para elegir los números que hagan falta en cada momento, se pueden usar las explicaciones de este mismo blog. Bajo la etiqueta "Teoría de números" encontraréis las características de cada uno.

Por si acaso, unas pautas generales muy sucintas:

El 1: sirve para centrarse, para expandirse, para avanzar en un ciclo armónicamente.

El 2: sirve para alternar, para ver una cosa y la contraria, para integrar los opuestos.

El 3: sirve para contener, da fuerza y equilibrio.

El 4: sirve para encuadrar, estructurar la materia, poner orden.

El 5: sirve para crecer orgánicamente, en espiral, como crecen las plantas. 

El 6: sirve para conectarse con el 1 desde una estructura que no es solo física.

El 7: sirve para sentir y entender lo que no se ve, y lo que no encaja exactamente, pero aún así funciona.

El 8: sirve para comunicarse con el 1 desde abajo, ayuda a estabilizar, a ascender por fases.

El 9: sirve para ir al límite, para asomarse al horizonte.

Se pueden combinar, evidentemente. Y se puede seguir, con el 10, el 11...

El seis y la raíz de tres

El uno y el seis se relacionan directamente, ya que el radio de la circunferencia y el lado del hexágono son la misma magnitud.

En el hexágono aparece un rectángulo: si uno de sus lados corresponde al lado del hexágono, y éste es 1, entonces el otro lado del rectángulo es √3.

Ese rectángulo contiene dos triángulos equiláteros, formados por sus diagonales.

¿Los puedes dibujar?

No solo números: el cuatro, de nuevo

El cuatro tiene mucho de ordenado, de cuadriculado. Los romanos lo sabían: dividían sus ciudades en cuatro cuadrantes trazando dos calles perpendiculares, cardus y decumanus. Se puede estudiar, en Historia, la organización romana de la ciudad, la república y el imperio. También se pueden estudiar los números romanos, que servían para contar... con cierta dificultad.

La misma idea de cardus y decumanus llevó, muchos siglos después, a las coordenadas cartesianas. En Filosofía, se puede estudiar la figura de René Descartes y debatir si era o no un filósofo cuadriculado... Se pueden mirar otras maneras de embaldosar el plano, más allá de la baldosa cuadrada. Solo hay dos que encajen: el triángulo y el hexágono. Ambas se pueden trabajar con los geoplanos.

Nos podemos preguntar cómo hacemos para cuadricular y embaldosar un geoide donde vivimos todos: este planeta. La proyección Mercator es solo una posibilidad entre tantas.

Si miramos bien, un cuadrado de lado 1 también tiene una diagonal de longitud irracional.  Aquí hay que saber lo que es la raíz cuadrada, entender el teorema de Pitágoras (y sus maravillosas demostraciones, en khanacademy hay toda una sección) y empezar a vislumbrar la magnitud de los irracionales.

Por supuesto, el criterio de divisibilidad del cuatro se relaciona con el del dos: si partimos algo en dos mitades, y podemos volver a partir el resultado en dos mitades, es que es divisible por cuatro.

En Geometría, el cuatro tiene que ver con el cuadrado, el rombo, el trapecio, el rectángulo, el paralelogramo... el cuadrilátero,  en definitiva; y también con el tetraedro (cuatro caras) y el cubo (caras de cuatro lados). Se pueden construir, dibujar, trabajar las áreas y volúmenes de todos ellos. Dividir sus caras en triángulos (el triángulo, siempre detrás de cualquier polígono) y entender la fórmula del área del triángulo: con un rectángulo partido por la mitad.

Es fácil dibujar mandalas cuadrados. O dibujar cualquier mandala redondo e inscribirlo en un cuadrado. Lo que no es tan fácil es... la cuadratura del círculo, que involucra a un número irracional.

¿Se puede conseguir la cuadratura del círculo con lápiz, regla y compás?

Arte islámico

Mirando Islamic Designs (Eva Wilson, British Museum Pattern Books), me ha quedado claro que todo el arte geométrico está relacionado: hay diseños iraníes que podrían ser celtas. Obviando la caligrafía árabe, los números hacen y dicen lo mismo, vengan de donde vengan. Hay algo universal en la geometría.

Por supuesto, cada cual (cada grupo, cultura, país) los verá de una forma. El mismo número, la misma geometría, mirada por la mañana o por la noche, cambiará de matiz. Los números, en última instancia, nos dicen algo diferente a cada uno, en cada momento.

También creo que estos diseños, aunque parezcan planos, son nudos entrelazados, ¡en 3D! Si te los quedas mirando un ratito, todo empieza a moverse...

No solo números: el tres, de nuevo

EL TRES

El tres es un número fuerte. El triángulo es una forma astringente, frente al círculo, que es una forma englobante. El triángulo sirve, pues, para hacer estructuras que aguantan fuerzas: en Física, se pueden mirar puentes como éste.



¿Veis los triángulos?

También en Física, el tres es el número de la balanza y el equilibrio de fuerzas. Y llevando esto a un desequilibrio útil, es el número de la palanca: de la fuerza, el fulcro y la contrafuerza.


De CR, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=1532363

La naturaleza del tres, tan pura, tan básica,  hace que cualquier polígono se pueda dividir en triángulos. En Geometría, se pueden estudiar los tipos de triángulos, y construir con ellos. Aquí hay unos ejemplos en 3D de poliedros que también incorporan cuadriláteros, pentágonos y hexágonos:

Los sólidos platónicos... ¿cuáles tienen caras triangulares? 

Se puede mirar el criterio de divisibilidad del tres, cómo vuelve a sí mismo de forma autocontenida (veintiuno, 2+1=3), cómo se expande a cualquier terminación posible, formando la estrella de diez puntas.



En Música, el acorde de tres notas sirve para ver diferentes relaciones entre ellas, exactamente como la ley de la palanca lo hace en física: en una palanca de primer grado, el lugar donde se sitúa el fulcro corresponde a la posición de la segunda nota del acorde. No es lo mismo Do-Re-Sol que Do-Mi bemol-Sol, que Do-Mi-Sol...

Finalmente, por poner fin a una lista potencialmente interminable, en Astronomía el tres tiene mucho que ver con los eclipses (relaciones a tres bandas Sol-Luna-Tierra) y puede servir para hablar asimismo de tres movimientos propios de la Tierra: rotación, traslación y precesión.

No solo números: el dos, de nuevo

EL DOS

El Dos es el Uno reflejado. Es el principio de lo otro, de la otredad, de la duplicidad, de la polaridad.

En Geometría, se puede dibujar una vesica piscis. Se puede hablar de la simetría: usar un espejo para ver reflejos, o representarla físicamente. Hay varios tipos de simetrías, rotacionales, traslacionales, hasta las llamadas simetrías Li, presentes en la naturaleza.

En Historia del Arte, se puede mirar un ábside románico, para ver al Cristo dibujado en una mandorla (almendra), la parte central de la vesica piscis.

Pero como el Dos no es más que el Uno desde otro punto de vista, la unidad jugando consigo misma, mirando fijamente al Dos solo acabaremos viendo Uno.

Matemáticamente, la cinta de Moebius expresa esto en toda su paradoja.

Es lo que pasa con los opuestos. Son en tanto que son "Dos reunidos en Una sola cosa". La vida y la muerte, ¿se pueden separar? Juntas forman la existencia. La vida sin la muerte no se aguanta. La muerte sin la vida no es.

Mujer y hombre. Arriba y abajo. Dentro y fuera. Mío y tuyo. Los opuestos: o bailan juntos, o no son nada.

No es mal tema para un debate filosófico.

En ese sentido, el Dos está en el principio de todo. Es de lo primero que se ve. Porque el Uno, al ser solo Uno, no se puede mirar a sí mismo...

Se puede hablar de cómo los ordenadores cuentan en base 2. Cómo cualquier número puede ser expresado como una suma de potencias de 2.

Y se puede seguir hablando de números primos, mirando el único primo par. No sabemos tanto de los primos: la hipótesis de Riemann, que nos diría algo más sobre su naturaleza, aún está por probar, y hay un premio de un millón de dólares en juego.

¿Alguien se anima?

Aquí se puede debatir si los primos son a las Matemáticas como los elementos son a la Química.

¿Mirar una tabla periódica es mirar números naturales, o números primos?

Por supuesto, hablar de criterios de divisibilidad matemáticos siempre da mucha información sobre ese número. Se puede representar gráficamente en papel cuadriculado.

¿Dividir por dos es ser justo?

En Química, el dos tiene que ver con las moléculas polares. El agua es el solvente del planeta por excelencia. ¿Qué sabemos de ella, en realidad? Sus átomos, su peso, su ángulo, su forma de agruparse. Quizá sea un buen momento para introducir el concepto de pH.

En Naturales, el dos sirve para ver el ciclo terrestre día-noche, y cómo no es igual en todos los planetas del sistema solar. También se puede usar la dualidad Sol-Luna para hablar de los eclipses, aunque en realidad serían más la introducción de nuestro siguiente invitado: el Tres.

No solo números: el uno, de nuevo

A raíz de un comentario, en el que un docente explica que hace clase conjunta de Educación Visual y Plástica y Matemáticas, he recordado unos materiales que elaboré.

Son un recorrido del Uno al Doce. Partiendo de la geometría, se incorporan conceptos asociados a cada número, más allá de lo dibujable y lo computable. Entran en juego las Ciencias Naturales, la Física y la Química; la Historia, la Filosofía y, con suerte, la Educación Física, en la medida que el número se pueda sentir en el propio cuerpo.

Allá vamos:

EL UNO

El Uno es el punto.

Por lo tanto, el Uno es el Big Bang. El momento en que todo lo que conocemos, toda la materia y toda la energía, estaba junta. El Uno tiene que ver con la concentración: imaginar una ingente cantidad de materia, en un espacio confinado, da la medida de lo que el Uno puede hacer. El Uno une. El Uno engloba.

En los momentos (cósmicamente hablando, un momento puede ser bastante largo) justo durante y después del Big Bang, se produjeron una serie de circunstancias que aún estamos en proceso de asimilar. Las partículas elementales se fueron organizando para crear. Al cabo del tiempo apareció el átomo. El átomo más simple, el de Hidrógeno: un protón, un electrón. Poco a poco, aparecieron los demás átomos: sumando, protón a protón, con ayuda de los neutrones estabilizadores. Los números naturales.

¿Hay algo entre el Hidrógeno y el Helio? 

Los números naturales podrían ser los bloques de construcción del universo. Y dentro de ellos, los números primos...

¿Cuál es la relación entre los números naturales y los primos?

El Uno de la Física puede unirse con la Filosofía aristotélica: el primer motor inmóvil responde a la idea de Uno. Algo que es capaz de impulsar, sin ser impulsado previamente. Esto entronca con el concepto de tiempo.

Si todo estaba allí, y aún no había pasado nada, ¿dónde estaba el tiempo, antes de que el primer motor inmóvil se pusiera en marcha, antes del Big Bang?



El Uno también es el círculo.

Y el círculo es un ciclo, algo que ni se sabe cuándo empezó, y que no se sabe cuándo terminará. Algo que, mientras dura, no tiene principio ni fin. El uroboro, la serpiente que muerde su propia cola.

Conocemos ciclos naturales:

-el ciclo del agua. Evapora, sube, condensa, baja, llueve o nieva o graniza, corre hasta el mar. El agua es fuente de información, de contacto, de transporte, de contaminación... dado que una molécula de agua recorre grandes distancias en poco tiempo.

-las estaciones, sean como sean, allí donde uno esté. Una vuelta alrededor del Sol. El eje terrestre.

-el ciclo geológico. Rompe, redistribuye, apila, sube o baja; el mar, que hace descender lo erosionado, y el volcán, que lo saca de vuelta, transformado, a la superficie; ígnea, metamórfica, sedimentaria... una piedra cualquiera no es una piedra cualquiera.

-el ciclo de la mujer. Silencioso o visible, está allí, y sus fases se pueden notar, como las de la Luna.

Seguro que se os ocurren más. El ciclo día-noche, lo guardo para el Dos.


Por supuesto, el Uno se puede dibujar. Con compás, o sin. Ya explicamos cómo:
http://elalmadelosnumeros.blogspot.com.es/2012/02/el-uno-y-el-circulo.html

El tema da para hablar de la circunferencia y el círculo, el radio y el diámetro, la tangente y la cuerda. También da para hablar de la cualidad misteriosa de algo tan aparentemente fácil como un redondel:
http://elalmadelosnumeros.blogspot.com.es/2012/07/la-circunferencia-entre-su-diametro.html

Lao Tsé y los primeros números

Repasando matemáticas y biología con mi hijo, usamos mucho la explicación de Lao Tsé. Es de ésas que valen para todo.

"El Tao engendra al uno,
El uno engendra al dos,
El dos engendra al tres,
El tres engendra a los diez mil seres." (Tao Te King, 42)

Ojo con la traducción, a veces se traducen "los 10.000 seres" como "las innumerables criaturas"... esos cuatro ceros son mucho más expresivos.

Transmiten un proceso largo en cuatro etapas, ¿los cuatro mundos de la cábala?; una vuelta repetida al cero (Tao) a través del uno.

De la nada, el big bang, y desde allí, la dualidad, la tríada, todo lo demás.

Es curioso que el cero aparece como principio, y al final (de 0 a 10.000 en un universo); el cero, ese número excepcional que tuerce todas las normas.

Nudo

Un nudo al estilo celta en el que no se plasma el hecho de que está dibujado con un solo trazo, al haberse resaltado más el fondo.

Cualquier línea cerrada, dé las vueltas que dé por el camino, se puede convertir en un nudo así.

Lo único que hay que recordar es que, en cada cruce, hemos de alternar el "pasar por encima" con el "pasar por debajo". De ese modo, todo acaba cuadrando.

Vi Hart lo explica bien en uno de sus maravillosos vídeos.

https://www.youtube.com/watch?v=heKK95DAKms

En este nudo, un detalle es que los cuadrantes se enlazan en diagonal, usando unas líneas en forma de ese que, unidas, dibujan corazones. Los cuadrantes superiores e inferiores también imitan la forma de corazón, con el tabique bien marcado.

El efecto que se consigue es, en mi opinión, un refuerzo del carácter dual que subyace al número cuatro: un énfasis en la alternancia y la complementariedad de los opuestos. Simultáneamente, la solidez de la tétrada encuadra el conjunto de díadas de forma muy agradable.

Animaos a dibujar vuestro propio nudo...

Grandes matemáticos: Ramon Llull

Ramon Llull, filósofo mallorquín nacido en el siglo XIII: filósofo conocido, novelista conocido... desconocido como matemático.

De su Ars magna, pasando por su Ars generalis, hasta su Ars brevis: intentar encontrar el factor común entre las tres religiones monoteístas, las características de Dios que le permitieran entenderse con el infiel, y convencerlo de su error. Y no por el método habitual (matarlo), sino de otra forma (conociendo su idioma, y refutando sus errores).

Sus esquemas no fueron comprendidos mientras él vivió. En las universidades se usaban otras maneras de razonar, más basadas en los filósofos respetados, mucho menos innovadoras. Sus construcciones no concordaban con lo conocido. No siguió los patrones lógicos de Aristóteles y la escolástica. Su lógica fue otra.

Ha sido rescatado a medida que la historia de las matemáticas ha ido avanzando: anticipó la combinatoria, se avanzó al construir lo que luego sería un lenguaje informático, incluso propuso la mejor fórmula para escoger (un abad, una abadesa) en un proceso electoral.

La magnitud de su obra, que él se esforzó sobremanera en preservar, hace que sea difícil de englobar. Un inclasificable.

Su biografía es tan colorida como sus trabajos: cortesano, seguidor de visiones de Cristo en la cruz, viajero bienvenido, o todo lo contrario, fundador de una red de escuelas de idiomas, y tantas cosas más. ¿Alquimista? No se sabe. En definitiva, una figura compleja, con una vida y una obra igualmente particulares.

Es interesante revisitarlo, ahora que hace 700 años que murió, y ver que sigue vigente.

El nudo del amante

Este diseño, usado en baldosas y colchas de retales, se llama "The Lover's Knot".

A partir de un dodecágono y sus estrellas dodecagonales, se arma la estrella central. El resto es sencillo.

En este nudo se ve la relación entre el 12 y sus divisores, el 2, el 3, el 4 y el 6. Curiosamente, se da un efecto de volumen que remite al icosaedro.

¿Se podría llegar a intuir, como si fuese una sombra, el dodecaedro?