sábado, 4 de abril de 2020

Arte islámico


Mirando Islamic Designs (Eva Wilson, British Museum Pattern Books), me ha quedado claro que todo el arte geométrico está relacionado: hay diseños iraníes que podrían ser celtas. Obviando la caligrafía árabe, los números hacen y dicen lo mismo, vengan de donde vengan. Hay algo universal en la geometría.

Por supuesto, cada cual (cada grupo, cultura, país) los verá de una forma. El mismo número, la misma geometría, mirada por la mañana o por la noche, cambiará de matiz. Los números, en última instancia, nos dicen algo diferente a cada uno, en cada momento.

También creo que estos diseños, aunque parezcan planos, son nudos entrelazados, ¡en 3D! Si te los quedas mirando un ratito, todo empieza a moverse...





lunes, 21 de mayo de 2018

No solo números: el tres, de nuevo


EL TRES

El tres es un número fuerte. El triángulo es una forma astringente, frente al círculo, que es una forma englobante. El triángulo sirve, pues, para hacer estructuras que aguantan fuerzas: en Física, se pueden mirar puentes como éste.

Resultado de imagen de puente triangulado

¿Veis los triángulos?

También en Física, el tres es el número de la balanza y el equilibrio de fuerzas. Y llevando esto a un desequilibrio útil, es el número de la palanca: de la fuerza, el fulcro y la contrafuerza.

Palanca de primera clase.
De CR, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=1532363

La naturaleza del tres, tan pura, tan básica,  hace que cualquier polígono se pueda dividir en triángulos. En Geometría, se pueden estudiar los tipos de triángulos, y construir con ellos. Aquí hay unos ejemplos en 3D de poliedros que también incorporan cuadriláteros, pentágonos y hexágonos:





Los sólidos platónicos... ¿cuáles tienen caras triangulares? 

Se puede mirar el criterio de divisibilidad del tres, cómo vuelve a sí mismo de forma autocontenida (veintiuno, 2+1=3), cómo se expande a cualquier terminación posible, formando la estrella de diez puntas.



En Música, el acorde de tres notas sirve para ver diferentes relaciones entre ellas, exactamente como la ley de la palanca lo hace en física: en una palanca de primer grado, el lugar donde se sitúa el fulcro corresponde a la posición de la segunda nota del acorde. No es lo mismo Do-Re-Sol que Do-Mi bemol-Sol, que Do-Mi-Sol...

Finalmente, por poner fin a una lista potencialmente interminable, en Astronomía el tres tiene mucho que ver con los eclipses (relaciones a tres bandas Sol-Luna-Tierra) y puede servir para hablar asimismo de tres movimientos propios de la Tierra: rotación, traslación y precesión.

Resultado de imagen de eclipse






lunes, 16 de abril de 2018

No solo números: el dos, de nuevo

EL DOS

El Dos es el Uno reflejado. Es el principio de lo otro, de la otredad, de la duplicidad, de la polaridad.


En Geometría, se puede dibujar una vesica piscis. Se puede hablar de la simetría: usar un espejo para ver reflejos, o representarla físicamente. Hay varios tipos de simetrías, rotacionales, traslacionales, hasta las llamadas simetrías Li, presentes en la naturaleza.

En Historia del Arte, se puede mirar un ábside románico, para ver al Cristo dibujado en una mandorla (almendra), la parte central de la vesica piscis.



Pero como el Dos no es más que el Uno desde otro punto de vista, la unidad jugando consigo misma, mirando fijamente al Dos solo acabaremos viendo Uno.

Matemáticamente, la cinta de Moebius expresa esto en toda su paradoja.




Es lo que pasa con los opuestos. Son en tanto que son "Dos reunidos en Una sola cosa". La vida y la muerte, ¿se pueden separar? Juntas forman la existencia. La vida sin la muerte no se aguanta. La muerte sin la vida no es.

Mujer y hombre. Arriba y abajo. Dentro y fuera. Mío y tuyo. Los opuestos: o bailan juntos, o no son nada.

No es mal tema para un debate filosófico.



En ese sentido, el Dos está en el principio de todo. Es de lo primero que se ve. Porque el Uno, al ser solo Uno, no se puede mirar a sí mismo...

Se puede hablar de cómo los ordenadores cuentan en base 2. Cómo cualquier número puede ser expresado como una suma de potencias de 2.

Y se puede seguir hablando de números primos, mirando el único primo par. No sabemos tanto de los primos: la hipótesis de Riemann, que nos diría algo más sobre su naturaleza, aún está por probar, y hay un premio de un millón de dólares en juego.

¿Alguien se anima?

Aquí se puede debatir si los primos son a las Matemáticas como los elementos son a la Química.

¿Mirar una tabla periódica es mirar números naturales, o números primos?

Por supuesto, hablar de criterios de divisibilidad matemáticos siempre da mucha información sobre ese número. Se puede representar gráficamente en papel cuadriculado.

¿Dividir por dos es ser justo?

En Química, el dos tiene que ver con las moléculas polares. El agua es el solvente del planeta por excelencia. ¿Qué sabemos de ella, en realidad? Sus átomos, su peso, su ángulo, su forma de agruparse. Quizá sea un buen momento para introducir el concepto de pH.

En Naturales, el dos sirve para ver el ciclo terrestre día-noche, y cómo no es igual en todos los planetas del sistema solar. También se puede usar la dualidad Sol-Luna para hablar de los eclipses, aunque en realidad serían más la introducción de nuestro siguiente invitado: el Tres.






miércoles, 28 de marzo de 2018

No solo números: el uno, de nuevo

A raíz de un comentario, en el que un docente explica que hace clase conjunta de Educación Visual y Plástica y Matemáticas, he recordado unos materiales que elaboré.

Son un recorrido del Uno al Doce. Partiendo de la geometría, se incorporan conceptos asociados a cada número, más allá de lo dibujable y lo computable. Entran en juego las Ciencias Naturales, la Física y la Química; la Historia, la Filosofía y, con suerte, la Educación Física, en la medida que el número se pueda sentir en el propio cuerpo.

Allá vamos:



EL UNO

El Uno es el punto.

Por lo tanto, el Uno es el Big Bang. El momento en que todo lo que conocemos, toda la materia y toda la energía, estaba junta. El Uno tiene que ver con la concentración: imaginar una ingente cantidad de materia, en un espacio confinado, da la medida de lo que el Uno puede hacer. El Uno une. El Uno engloba.

En los momentos (cósmicamente hablando, un momento puede ser bastante largo) justo durante y después del Big Bang, se produjeron una serie de circunstancias que aún estamos en proceso de asimilar. Las partículas elementales se fueron organizando para crear. Al cabo del tiempo apareció el átomo. El átomo más simple, el de Hidrógeno: un protón, un electrón. Poco a poco, aparecieron los demás átomos: sumando, protón a protón, con ayuda de los neutrones estabilizadores. Los números naturales.

¿Hay algo entre el Hidrógeno y el Helio? 

Los números naturales podrían ser los bloques de construcción del universo. Y dentro de ellos, los números primos...


¿Cuál es la relación entre los números naturales y los primos?

El Uno de la Física puede unirse con la Filosofía aristotélica: el primer motor inmóvil responde a la idea de Uno. Algo que es capaz de impulsar, sin ser impulsado previamente. Esto entronca con el concepto de tiempo.

Si todo estaba allí, y aún no había pasado nada, ¿dónde estaba el tiempo, antes de que el primer motor inmóvil se pusiera en marcha, antes del Big Bang?




El Uno también es el círculo.


Y el círculo es un ciclo, algo que ni se sabe cuándo empezó, y que no se sabe cuándo terminará. Algo que, mientras dura, no tiene principio ni fin. El uroboro, la serpiente que muerde su propia cola.

Conocemos ciclos naturales:

-el ciclo del agua. Evapora, sube, condensa, baja, llueve o nieva o graniza, corre hasta el mar. El agua es fuente de información, de contacto, de transporte, de contaminación... dado que una molécula de agua recorre grandes distancias en poco tiempo.

-las estaciones, sean como sean, allí donde uno esté. Una vuelta alrededor del Sol. El eje terrestre.

-el ciclo geológico. Rompe, redistribuye, apila, sube o baja; el mar, que hace descender lo erosionado, y el volcán, que lo saca de vuelta, transformado, a la superficie; ígnea, metamórfica, sedimentaria... una piedra cualquiera no es una piedra cualquiera.

-el ciclo de la mujer. Silencioso o visible, está allí, y sus fases se pueden notar, como las de la Luna.

Seguro que se os ocurren más. El ciclo día-noche, lo guardo para el Dos.


Por supuesto, el Uno se puede dibujar. Con compás, o sin. Ya explicamos cómo:
http://elalmadelosnumeros.blogspot.com.es/2012/02/el-uno-y-el-circulo.html

El tema da para hablar de la circunferencia y el círculo, el radio y el diámetro, la tangente y la cuerda. También da para hablar de la cualidad misteriosa de algo tan aparentemente fácil como un redondel:
http://elalmadelosnumeros.blogspot.com.es/2012/07/la-circunferencia-entre-su-diametro.html


sábado, 13 de mayo de 2017

Lao Tsé y los primeros números

Repasando matemáticas y biología con mi hijo, usamos mucho la explicación de Lao Tsé. Es de ésas que valen para todo.

"El Tao engendra al uno,
El uno engendra al dos,
El dos engendra al tres,
El tres engendra a los diez mil seres." (Tao Te King, 42)

Ojo con la traducción, a veces se traducen "los 10.000 seres" como "las innumerables criaturas"... esos cuatro ceros son mucho más expresivos.

Transmiten un proceso largo en cuatro etapas, ¿los cuatro mundos de la cábala?; una vuelta repetida al cero (Tao) a través del uno.

De la nada, el big bang, y desde allí, la dualidad, la tríada, todo lo demás.

Es curioso que el cero aparece como principio, y al final (de 0 a 10.000 en un universo); el cero, ese número excepcional que tuerce todas las normas.

miércoles, 15 de marzo de 2017

Nudo




Un nudo al estilo celta en el que no se plasma el hecho de que está dibujado con un solo trazo, al haberse resaltado más el fondo.

Cualquier línea cerrada, dé las vueltas que dé por el camino, se puede convertir en un nudo así.

Lo único que hay que recordar es que, en cada cruce, hemos de alternar el "pasar por encima" con el "pasar por debajo". De ese modo, todo acaba cuadrando.

Vi Hart lo explica bien en uno de sus maravillosos vídeos.

https://www.youtube.com/watch?v=heKK95DAKms

En este nudo, un detalle es que los cuadrantes se enlazan en diagonal, usando unas líneas en forma de ese que, unidas, dibujan corazones. Los cuadrantes superiores e inferiores también imitan la forma de corazón, con el tabique bien marcado.

El efecto que se consigue es, en mi opinión, un refuerzo del carácter dual que subyace al número cuatro: un énfasis en la alternancia y la complementariedad de los opuestos. Simultáneamente, la solidez de la tétrada encuadra el conjunto de díadas de forma muy agradable.

Animaos a dibujar vuestro propio nudo...

martes, 1 de noviembre de 2016

Grandes matemáticos: Ramon Llull

Ramon Llull, filósofo mallorquín nacido en el siglo XIII: filósofo conocido, novelista conocido... desconocido como matemático.

De su Ars magna, pasando por su Ars generalis, hasta su Ars brevis: intentar encontrar el factor común entre las tres religiones monoteístas, las características de Dios que le permitieran entenderse con el infiel, y convencerlo de su error. Y no por el método habitual (matarlo), sino de otra forma (conociendo su idioma, y refutando sus errores).

Sus esquemas no fueron comprendidos mientras él vivió. En las universidades se usaban otras maneras de razonar, más basadas en los filósofos respetados, mucho menos innovadoras. Sus construcciones no concordaban con lo conocido. No siguió los patrones lógicos de Aristóteles y la escolástica. Su lógica fue otra.

Ha sido rescatado a medida que la historia de las matemáticas ha ido avanzando: anticipó la combinatoria, se avanzó al construir lo que luego sería un lenguaje informático, incluso propuso la mejor fórmula para escoger (un abad, una abadesa) en un proceso electoral.

La magnitud de su obra, que él se esforzó sobremanera en preservar, hace que sea difícil de englobar. Un inclasificable.

Su biografía es tan colorida como sus trabajos: cortesano, seguidor de visiones de Cristo en la cruz, viajero bienvenido, o todo lo contrario, fundador de una red de escuelas de idiomas, y tantas cosas más. ¿Alquimista? No se sabe. En definitiva, una figura compleja, con una vida y una obra igualmente particulares.

Es interesante revisitarlo, ahora que hace 700 años que murió, y ver que sigue vigente.










domingo, 16 de noviembre de 2014

El nudo del amante

Este diseño, usado en baldosas y colchas de retales, se llama "The Lover's Knot".


A partir de un dodecágono y sus estrellas dodecagonales, se arma la estrella central. El resto es sencillo.

En este nudo se ve la relación entre el 12 y sus divisores, el 2, el 3, el 4 y el 6. Curiosamente, se da un efecto de volumen que remite al icosaedro.

¿Se podría llegar a intuir, como si fuese una sombra, el dodecaedro?




miércoles, 27 de agosto de 2014

Pirámides y cuadrados

Hemos hecho pirámides con canicas.

Mirándola desde arriba, se ven los números cuadrados: 1, 4, 9, 16 y 25.

¿Funciona también con números triangulares? ¿Pentagonales? ¿Hexagonales?

miércoles, 30 de abril de 2014

Aprender mates por internet

Mi empeño con los números y las formas me ha llevado a repasar las mates del cole, las de toda la vida, con el doble fin de aprenderlas yo y que las aprendan mis hijos. Después de alguna decepción con el material didáctico disponible, me he decidido a seguir el programa de estudios que propone Sal Khan en su página, www.khanacademy.org .

Pero si son ejercicios de mates, diréis. Iguales que los que vienen en cualquier libro de texto. Sí, y no.

Para empezar, son ejercicios con explicación. Explicación de cada ejercicio, y explicaciones en forma de video de cómo hacer ese tipo de ejercicio. Todo viene fragmentado en bocados pequeños.

Esta especificidad, o especialización, tan propia de la cultura de Estados Unidos, constituye toda una ventaja a la hora de repasar algo en particular, pudiendo dejar de lado todo lo demás.

Hay un hincapié interesante en la demostración. Por ejemplo, no recuerdo haber visto demostraciones de las funciones trigonométricas de 30º, 45º y 60º cuando las estudié. Habiéndolas entendido, es fácil reproducirlas, y encontrar los valores que antes solamente aprendí de memoria.

En una sección de matemática recreativa están todos los videos de Vi Hart. Ella colaboró con Khan Academy durante un tiempo.

Por último, los contenidos de geometría son deliciosos. Dan ganas de correr a comprarse los Elementos de Euclides.

Sal Khan creó el contenido en inglés, pero también existe en castellano: se pueden encontrar los vídeos subtitulados y hasta doblados. Para niños o adolescentes que comprendan el inglés es una buena forma de practicarlo. Y es gratis.

Se pueden dejar comentarios, ayudar a otros que están también aprendiendo, y ver en todo momento lo que hacen tus alumnos (si eres profe) o tus hijos (si eres padre o madre).







viernes, 11 de abril de 2014

La resonancia

El ocho tiene mucha información sobre cómo resonar. Información interesante, que nos aclara cómo resuena lo de abajo con lo de arriba, octava con octava.

Para comprobarlo, se coge una guitarra y se toca un mi natural. Se toca, por ejemplo, en la cuarta cuerda, que es un re natural, poniendo el dedo en el segundo traste: ya tenemos un mi.

Pues pasa que la sexta cuerda también vibra. La separa una octava del mi que acabamos de encontrar, pero vibra igual. Aún están muy cerca, esos dos "mis"... aún se reconocen. Lo veréis poniendo un papelito en la cuerda sexta: el papelito se agitará y, con toda probabilidad, se os caerá por el agujero de la guitarra. Si no se os cae, oiréis el mi de la sexta cuerda.

Si lo hacéis igual, pero con la primera cuerda, que también es un mi, pasa lo mismo. Oiréis un mi más agudo.

Si la distancia es de una octava, he comprobado que funciona. Pero cuando son dos octavas, la cosa se pone más difícil. El mi de la primera cuerda vibra con el mi de la sexta. Pero también vibra con el la de la quinta cuerda... sospechoso. Con más de una octava de distancia, parece que las cuerdas se confunden ¡hasta un intervalo de cuarta, que es lo que separa a un mi de un la!

Eso significará algo. Podemos resonar con una octava superior, o con una octava inferior: ¿querrá eso decir que nos llegamos a entender con aquellos que están, como máximo, a una octava de distancia de nosotros?

No resuena lo distinto, resuena lo igual. Pero a partir de un punto, ya no resuena nada, o resuena todo...

Os invito a probar esto, guitarra en mano. Tremendamente divertido.



viernes, 21 de marzo de 2014

El siete, de nuevo

El siete es el número de escalones necesarios para pasar de nivel, para saltar de pantalla.

Se dice que tres veces siete, es decir, veintiún días, es el tiempo recomendado para romper un hábito que no nos conviene.

Cuatro veces siete remite al ciclo lunar, que tira de las aguas de nuestro organismo así como de las del planeta, mientras refleja la luz del sol en distintos grados.

El siete aparece cuando miramos niveles menos obvios, más sutiles. Salta a la vista si buscamos la pre-estructura, desdibujada luego en la multiplicidad, en el batiburrillo de la materia.

Usad el siete para ver la verdad oculta, lo que de verdad nos limita, sin que lo sepamos. Aceptar el siete es, hasta cierto punto, decirle "sí" al misterio, a la constricción sin la cual nuestros átomos no sabrían cómo organizarse, al código intrínseco que pocas veces vemos, velado por interfaces y lenguajes diversos.

El siete se debe usar siempre con los pies en el suelo. Esta afirmación, válida para cualquier número, es especialmente relevante para números como el siete o el once que, por así decirlo, están más para allá que para acá. (En términos de flores de Bach, no querríamos darle un siete a alguien que necesitase, por ejemplo, Aspen o Clematis.)

Hildegarda de Bingen, una monja alemana que vivió en el siglo XII, describió sus visiones para que fuesen empleadas como iluminaciones (ilustraciones). En ésta, el ciclo estacional (un 4) está incluído en un heptágono invisible: si dibujamos una estrella heptagonal dentro de la circunferencia más grande, en su interior queda inscrita la circunferencia que engloba a la tierra y los árboles.

Lo visible, el cuatro, queda inscrito dentro de lo invisible, el 7, que lo engloba y sostiene.

martes, 18 de marzo de 2014

El ocho nunca dejará de sorprenderme

Pintando el ocho, pintando octógonos y estrellas octogonales, no cesan las sorpresas.

El ocho es un número tremendamente auspicioso. El octógono trae suerte. Los orientales lo saben, los occidentales hemos preferido al siete, más secreto y rebuscado: probad con el ocho también, no os decepcionará, es más "recto" que el siete.


En su versión estrellada, da el esquema de "la respiración del compasivo", que ayuda... adivinad: pues sí, a respirar. Notadlo en la respiración pulmonar, incluso en el bombeo del líquido céfalorraquídeo.

Tiene relación con las 8 direcciones de la brújula, norte, sur, este, oeste y sus intermedios. En este caso, potencia el centro.

Es como un rellano en la escalera, cuando vas subiendo y necesitas un pequeño descanso (¡un respiro!) antes de seguir hacia arriba. Impulsa el crecimiento sostenido.

El ocho está presente en el movimiento de las órbitas de Mercurio (respecto de la Tierra) y de Saturno (respecto del Sol). Si dibujamos una circunferencia con una estrella octogonal verdadera en su interior, y le inscribimos otra circunferencia en el octógono central, la circunferencia externa representa la trayectoria terrestre, y la interna la mercuriana, con un 99.9% de precisión. Igualmente, una estrella octogonal cuyo centro es el Sol tendrá como órbita de Saturno una circunferencia inscrita en sus puntas exteriores, si tomamos las puntas interiores de la estrella como la órbita de Júpiter, y el centro como el Sol.


Son los planetas más lejanos a nosotros que se pueden ver a simple vista: Mercurio el más cercano al Sol en su trayectoria, Saturno mucho más lejano. Quienes sepan astrología, o astronomía, y no me cuento entre ellos, entenderán mejor lo que implica ese espacio entre Saturno y Mercurio. Saturno es pesado, lento y limitante; Mercurio tiene un movimiento bastante rápido de traslación y una rotación que hace que el Sol salga y se casi-esconda varias veces en un día, ¡divertidísimo! Lo que vemos los humanos se puede enmarcar entre Mercurio y Saturno...



La otra gran propiedad del ocho es su relación con la resonancia. No resuena lo distinto, resuena lo igual: para que haya resonancia, debe haber identidad. La octava musical es el ejemplo clásico de esta verdad. Matemáticamente, el ocho vuelve al uno con facilidad: 8 por la mitad es 4, luego 2, luego 1. Ahí está la identidad, el uno, lo mismo.



El cuatro, el dos

Un diseño habitual de iglesias y claustros, el cuatrifolio. En este caso, se refuerza su dualidad presentándolo en dos partes, con un "solyluna".

Hay un pequeño detalle que incluye al 3, entre el 4 y el 2.

¿Lo véis?

viernes, 10 de enero de 2014

Dibujando estrellas, de nuevo

En una entrada anterior se trató el tema de los polígonos estrellados. Aquí está la actividad, tal y como la llevamos a cabo con niños de diversas edades, en las fechas cercanas al solsticio de invierno.

Objetivo: reconocer, dibujar y percibir las estrellas de 6, 5 y 10 puntas.

Materiales: lápiz, compás, regla, papel, rotuladores de colores si se quiere pintar.

Procedimiento:


-El solsticio: ¿qué es? ¿cuándo es/será?
Hablamos de la etimología de la palabra "solsticio", que significa "sol quieto", porque en esas fechas el sol desciende a su mínima altura y se queda en ese nivel unos días, antes de iniciar la remontada.
Damos la fecha y hora exacta del solsticio de invierno de este año.
Hablamos de las estaciones, de por qué hay menos luz durante los meses fríos, y más en verano.
A partir del solsticio, crece la luz. ¿Qué luz? La de la estrella que tenemos más cerca, nuestro sol. Se puede hablar de otras estrellas que conozcamos o que queden cerca, también.

-Estrellas: ¿cómo dibujarlas? Vamos a aprenderlo, para las estrellas de 6, 5 y 10 puntas.
¿Cuáles dos están relacionadas? (5 y 10, porque 10 es dos veces 5)

-Estrella de 6 puntas: se la llama Estrella de David, o Sello de Salomón.
La dibujamos, trazando 6 círculos enteros con el compás:
Nos ponemos en disposición de notar. Para eso, apoyamos bien el peso en la silla, ponemos la espalda recta y flexible, y sentimos unas raíces que salen de nuestros pies, de nuestro coxis. Al ratito, notaremos como la Tierra nos devuelve algo, será como hacernos conscientes de la ley de la gravedad. Tendremos la sensación de haber echado raíces. Generalmente, esto va acompañado de una cierta solidez. En este estado, podemos mirar la estrella.
Suele notarse un cierto equilibrio, incluso un efecto "túnel".

-La estrella de 5 puntas: es la estrella de los pitagóricos, la estrella del árbol de navidad.
Para dibujarla, seguimos los pasos siguientes:

Nos disponemos a notarla. Mejor hacerlo con la punta hacia arriba, porque no se trata de notarla "cara abajo".
Suele notarse un cierto movimiento, como si quisiera salirse del papel. Recordemos que el hexágono embaldosa el plano, pero el pentágono está ligado al dodecaedro, que es tridimensional...

-La estrella de 10 puntas: hay varias, fáciles de conseguir a partir del decágono. De hecho, hay dos falsas y una verdadera.
Encontramos el decágono a partir del pentágono:

La {10,2} y la {10,4} son falsos estrellados, porque no se pueden dibujar del tirón, sino que hay que levantar el lápiz del papel para conseguirlos.

Pero la {10,3} sí se puede dibujar de una vez:

 Notamos la estrella decagonal que más nos guste.

Como ampliación, nunca mejor dicho, se puede salir al patio y dibujarlas en la arena o el cemento. Se necesitan solamente una cuerda, varios palos y tiza.

También se puede dejar que cada cual exprese su particular forma de percibir una estrella, dándoles color con los rotuladores, intentando formas de combinarlas, etc.




martes, 31 de diciembre de 2013

El templo

El templo es el cielo en la tierra. Es traer lo de arriba, abajo, y mostrar cómo lo de abajo crece... hacia arriba.

Las catedrales lo hacen. Los dólmenes lo hacen. En última instancia, cada cual hace justamente eso, de vínculo entre cielo y tierra.

En un curso con Juan Sáez, aprendí varias formas que suelen aparecer en un templo. No van cada una por su lado, sino que se interrelacionan, entre sí y con el lugar.

Dependiendo de la latitud, dependiendo de la cantidad de Sol y luz recibida, el dibujo cambia.

Esta manera de reflejar la luz en una geometría se puede usar si, por ejemplo, queremos traer a Barcelona la energía de otro lugar: Jerusalén, o Glastonbury, o Chartres... En ese caso, usaríamos los datos de luz del lugar escogido. Suponiendo que conociésemos ese lugar, ver el esquema de la latitud correspondiente nos recordaría sus características, nos volvería a dar la referencia del mismo.

Hace un tiempo, dibujé el esquema, tomando las latitudes de lugares significativos para mi familia. Y hace poco lo he trazado de nuevo, esta vez en una sábana, para poderlo notar a lo grande, y en grupo. Si lo tengo en un papel, puedo notar cada elemento apoyando un lápiz en los puntos significativos del esquema. Si está dibujado en el suelo, puedo ponerme de pie encima.

Cuando noto, enfoco la atención al elemento escogido: por ejemplo, el cuadrado verde grande (se le llama "cuadrado madre") cruza una variedad de círculos, pero eso no importa. Mientras centre mi atención en el cuadrado madre, lo percibiré en relación a mí, y dentro del esquema, sin que los demás elementos interfieran.



sábado, 28 de diciembre de 2013

La tabla periódica

La tabla periódica de los elementos son esos recuadritos que se aprenden al estudiar química.

Es una manera de representar toda la materia conocida. Toda la sustancia que podamos encontrarnos en el mundo está ahí, en esos rectangulitos. Lo que ocurre es que, al estar puesta así, en filas y columnas, nos representa la realidad de una forma un poco... cuadriculada.

La tabla ya apareció en el blog al hablar del ocho, porque cuando son ocho los electrones de las capas superiores de un átomo, éste es tremendamente estable y pertenece a la columna 8, la de los gases nobles.

En la tabla periódica, cada átomo tiene un protón más que el anterior. Ese protón marca la diferencia entre el hidrógeno y el helio, entre el cloro y el argón.

Entonces, para representar esa progresión, ¿no sería mejor una espiral?

Podéis poner manos a la obra, os quedará algo así.


¿Cuál será la diferencia entre una espiral, de construcción casera, y unos cuantos rectángulos dibujados por un químico que no conozco? Pues la misma que hacer un bizcocho en el horno de casa, o comprar una tarta en la pastelería: hacer algo con las propias manos informa a las manos, a la cabeza, y al corazón… Por eso mi insistencia en que hay que coger el compás, y no sólo el ordenador, para entrar en la geometría.

Recomiendo el libro de Theodore Gray  The Elements: A Visual Exploration of Every Known Atom in the Universe, un compendio de curiosidades y fotografías preciosas. También lo encontraréis traducido al castellano.


Dibujando estrellas

Hace poco, con la excusa de la Navidad, hemos dibujado estrellas.

La estrella más fácil de hacer, con diferencia, es la de seis puntas. En realidad no es del todo una estrella, sino más bien dos triángulos entrelazados. No se puede dibujar del tirón, sin separar el lápiz del papel; por eso, es uno de los llamados "falsos estrellados".

Para dibujarla, basta con no tocar el radio del compás.



Comparad la sensación de la estrella de seis puntas con la de cinco, que viene a continuación.

La estrella pentagonal no es nada obvia. De hecho, fue un secreto durante siglos. Para dibujarla, partimos de la vesica piscis.





Se puede dibujar fácilmente una estrella de diez puntas a partir de una de cinco. De hecho, hay tres estrellas decagonales posibles, dos falsas y una verdadera.






Comparando la estrella de 6 y la de 5 puntas, la estrella hexagonal es muy equilibrada, mucho más estática que la pentagonal. Por eso, en la mayoría de banderas usan la estrella de cinco puntas, que da la impresión de un mayor dinamismo y se asemeja al hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci, o al de Cornelius Agrippa:




La estrella decagonal es redonda, completa. También guarda algo del carácter dinámico del cinco. Pero también remite al 1, porque no hay ningún polígono de un lado (salvo, quizá, el círculo, que tendría infinitos lados). El decágono sería, por tanto, el primer polígono directamente relacionado con el 1. De ahí su sensación de movimiento y redondez.

En otra entrada, pongo la actividad tal y como la hicimos con los niños, por si a alguien le apetece.






lunes, 30 de septiembre de 2013

Aprender matemáticas

Últimamente he podido leer varios libros de texto que enseñaban matemáticas.

Me he quedado un poco desencantada. ¿Dónde están la magia, la emoción, la intriga, el descubrimiento, esas epifanías cuando algo encaja? No las he encontrado y me extraña, porque siempre que me pongo a dibujar-contar-resolver suceden cosas maravillosas.

En esos textos no sucedían maravillas, todo estaba resuelto de antemano, todo estaba cocido...

¡El mundo es un misterio! ¡El universo es milagroso! Las personas que se han dedicado a las matemáticas lo saben, saben que resolver una milésima parte del misterio es como encontrar aquella pieza que faltaba, que ni siquiera era seguro que existiese...

Ojalá esa maravilla se pudiera plasmar en los libros. Ojalá leer mates fuese como leer la mejor novela de intriga.

Un enlace que habla de esto mismo: http://dmle.cindoc.csic.es/pdf/GACETARSME_2008_11_4_07.pdf





Anudar el uno

Imagina una línea curva, recta, redonda, puntiaguda, pero todo el rato la misma, la misma línea. Imagina que vuelve a su origen, de manera que podría ser una circunferencia... si se pudiese desenrollar todo el lío.

Si puedes imaginar esa línea, puedes también representarla, con una cuerda. No vas a tener ningún problema, mientras sea una sola línea y esté unida por el principio-fin. En cada cruce, hay que recordar: una vez por encima, otra vez por debajo. Y ya está.

Este dibujo lo ilustra:






¡Los patrones celtas más enrevesados se simplifican considerablemente!





Con dos o más líneas... también funciona. Aquí Victoria Hart (ViHart) lo explica muy bien:


Recomiendo encarecidamente sus vídeos. Habla en inglés a la velocidad de la luz, pero se entienden visualmente.

Estos "doodles" (garabatos) ayudan mucho a entender el 1 y la circunferencia.

lunes, 1 de julio de 2013

La nueva Jerusalén

Otro esquema que he dibujado últimamente es éste:


Se llama "la nueva Jerusalén". La he encontrado en un cuaderno de ejercicios de Michael S. Schneider (thank you, Michael!), donde enseña a dibujarla paso a paso.

Son muchos pasos. Tantos, que el esquema terminado no puede jamás mostrarlos todos, no veríamos ninguno y sólo acabaríamos mareados, borrachos de tanta línea.

Así pues, se impone una selección de lo que se elige mostrar en el diseño terminado, y se descartan las acciones, los trazos que, si bien están ahí, no vamos a resaltar.

Esa es la característica más interesante de este diseño, el hecho de que se adapta a la circunstancia del momento de forma clara y total. Si lo dibujáis, veréis que hay lugares por donde pasáis de puntillas, y otros que vais a marcar con rotulador gordo.

Por ejemplo, en esta nueva Jerusalén, está muy señalada la noción de ciclo. La cuadratura del círculo y las ocho partes coloreadas la remiten al cuatro, a la Tierra. Las doce lunas y el veintiocho aluden al ciclo solar y lunar. Al final, es como una brújula, con las cuatro direcciones bien marcadas...

Por cierto, ¿dónde pondríais el norte?

Si os animáis a dibujarla, el único lugar donde la he encontrado es en el cuaderno de Schneider, Constructing the Cosmological Circle, disponible en su web. Seguro que está en más sitios. Que dibujéis a gusto.

Otro sri yantra

Durante el solsticio de verano, pinté otro sri yantra. Éste:


Aunque parezca más o menos regular, no lo es en absoluto. Está lleno de errores e imprecisiones. Pero ¿sabéis que? No importa.

Me sorprende que la geometría se suela pintar, pero no dibujar. Proliferan los libros de mandalas, preciosos. Es bonito colorear. Lo que quiero decir es que no se puede comparar el gesto del coloreo con el gesto del trazo del esquema.

Claro, si el trazo lo hace uno mismo, no queda igual que si se coge uno creado por un profesional, que siempre está perfecto, simétrico... pero es que ¡da igual! Lo importante en esto de dibujar mandalas, o yantras, o la geometría que sea, no es el resultado. Me suele gustar que me queden las cosas bien, no me considero una chapuzas, y aun así lo digo y lo repito: cómo quede un yantra, es lo de menos.

Un yantra es un proceso. Sobre todo, es el proceso de trazarlo de la nada. Ese proceso revela una serie de procesos paralelos, una serie de comprensiones, que se dan en quien lo dibuja. No se saca nada a la fuerza, sale lo que debe salir en cada momento, para cada cual.

Como un parto; es exactamente como un parto. Nunca le has visto la cara a tu bebé, aunque le has llevado dentro durante muchos días... Igualmente, un yantra bien dibujado tiene un componente sorpresa. No sabes cómo te quedará. Sabes cómo te está quedando, nada más. Con eso es suficiente.

Porque el cómo y el qué van juntos, en geometría. Realmente, es difícil de explicar y fácil de sentir. El gesto de trazar un círculo, una recta, activa en nosotros una información que va más allá de lo visual y de lo táctil. Es una información de belleza y verdad. Quizá suene cursi pero es así. De ahí el éxito de los libros de mandalas.

En concreto, dibujando este sri yantra, me emocionaron especialmente los dos triángulos mayores. No había reparado tanto en ellos las otras veces. En esta ocasión me parecieron el colmo de la generosidad. Cómo un triángulo puede ser generoso, lo ignoro, tendréis que probarlo vosotros, para ver qué os dice...

Cada vez es distinto, el sri. Creo que es imposible cansarse de él. Es un símbolo de la globalidad y, en consecuencia, se dibuja como un todo: te equivocas en una línea y se desmonta entero. Al mismo tiempo, tiene partes. Dibujándolo se entiende algo de la relación entre el todo y las partes.

Aquí hay un enlace a una posible forma de dibujarlo. Sigo recomendándoos que lo probéis por vosotros mismos.


viernes, 28 de junio de 2013

Grandes matemáticos desconocidos: Lobatchevski

Leyendo una historia de la matemática, he tropezado con la biografía de Nikolai Ivanovitch Lobatchevski (1792-1856). Llama la atención la apertura de miras de este singular matemático, más aún si se tiene en cuenta su carácter.

La vida de Lobatchevski podía haber sido muy distinta: su padre murió cuando él tenía siete años, la familia se mudó a Kazan (rozando Siberia) y allí él obtuvo una beca para estudiar en el "gimnasio" (la escuela). Destacó, entró en la universidad, y allí se quedó. Fue catedrático y rector; querido y admirado; finalmente, se le apartó de los cargos importantes y se le dio un puesto honorífico y vacío. Murió ciego, habiendo escrito y dictado una nueva geometría.

La capacidad de orden y organización de Lobatchevski era tremenda. Daba clases de matemáticas, pero también de física, astronomía, topografía... Para unas obras que hubo que hacer en la universidad, aprendió arquitectura, y se acabaron los trabajos con menos dinero del previsto.

Cuando la peste llegó a Kazan, reunió a alumnos y profesores en un edificio, sellando puertas y ventanas, y manteniendo un mínimo contacto con el exterior; la mortalidad en ese grupo afortunado fue muchísimo menor que la de la población general. Estamos hablando de un tiempo en que se desconocía el porqué de la propagación y el contagio de las enfermedades. El genial matemático observó, dedujo y ejecutó un plan de acción brillante.

En geometría, dio el paso de la geometría euclidiana a la no euclidiana. Pocos entendieron, y no fue hasta después de su muerte. Es un salto enorme.

Euclides explicó cómo funciona el plano. En el plano, los ángulos de un triángulo suman 180º. Dos líneas paralelas no se cruzan, siguen rectas, siempre adelante, una al lado de la otra.  Y así sucesivamente: reglas que ordenan una superficie lisa. La geometría de Euclides sirve para un montón de cosas... pero no sirve, por ejemplo, para hacer un viaje largo por mar.

En la Tierra, lo que vemos es un plano, pero en realidad estamos sobre una superficie curva. Eso hace que un triángulo grande tenga ángulos que sumen más de 180º: sí, sí, lo que oís. Y para ir de un punto a otro de la superficie de una esfera, la línea recta no es una opción (a no ser que quieras excavar un túnel gigantesco). Hay que seguir un cierto recorrido por la superficie del mar, o de la tierra.

Lobatchevski entendió esto y muchísimo más. Me lo imagino en una ciudad congelada, pasando los inviernos entre apuntes, inventando geometrías incomprendidas. Una mente recta, doblando planos más allá de lo establecido.