El infinito real

El infinito es para la mente como una luz brillante para una polilla: la atrae irremisiblemente, pero puede quemarse contemplándola. Lo infinito, lo que no tiene límite, desafía a nuestras funciones mentales, normalmente acostumbradas a ir "paso a paso".

Una cosa curiosa que tiene el infinito es que cuanto más lo buscas, más lo ves, pero no por verlo lo entiendes... Incluso puedes cruzártelo en lugares donde pensabas que jamás lo encontrarías. Esto lo entendió el filósofo griego Zenón, que ya en el siglo V a.C. inventó esta paradoja relacionada con el infinito:
"Aquiles, gran corredor, participa en una carrera con una tortuga como contrincante. Dada la desigualdad de fuerzas, le da ventaja. Cuando finalmente Aquiles empieza a correr, llega un punto en que va a alcanzar a la tortuga. Pero mientras la alcanza, la tortuga ha caminado un poquito más. De modo que Aquiles tiene que avanzar aún un poco. Pero mientras Aquiles cubre esa distancia que le queda, la tortuga ha seguido avanzando. Así... para siempre." Por supuesto, descomponiendo el recorrido de la tortuga en pedacitos cada vez más pequeños, parece que Aquiles no la vaya a pillar jamás. La cuestión es que podemos partir ese recorrido en tantos pedacitos como queramos. El número de pedacitos que podemos hacer es infinito.
El infinito es infinitamente grande... e infinitamente pequeño.

Se trata de una paradoja que es, a la vez, una falacia. ¿Acaso no podrá Aquiles alcanzar, y adelantar, a la tortuga? Sí que podrá. Pero visto a cámara lenta, y fijándonos solamente en el movimiento de avance de la tortuga, se puede hacer que lo obvio parezca imposible. Es lo que pasa cuando se empieza a pensar en términos infinitesimales.

Otra curiosa cuestión es que hay infinitos e infinitos. Por ejemplo, hay infinitos números naturales: 1,2,3,4,5... tantos como queramos. Pero también hay infinitos números naturales pares: 2,4,6,8,10,12... Comparar las dos series es desconcertante: aunque las dos son infinitas, ¿no debería una ser "el doble de infinita" que la otra? Pues no. En el infinito estas fronteras de doble o mitad se difuminan... La mitad del infinito es infinita, y el doble también.

Al menos la serie de los números naturales, y la de los números naturales pares, se dejan ordenar en su infinitud. También se dejan ordenar los números fraccionarios: el 1,9999999... va antes del 2, siempre. Si ordenamos los números fraccionarios, veremos que hay infinitos y que están "muy juntos", más juntos que los números naturales. Aunque, ¿importará mucho lo juntos o separados que estén, si hay infinitos? Da que pensar.

Si en vez de fijarnos en los números naturales, o en los fraccionarios, nos fijamos en los irracionales, entonces empiezan los mareos de verdad. Para empezar, son legión. Hay más irracionales que fraccionarios. ¡Pero si había infinitos números fraccionarios! Pues hay un infinito más "denso" de irracionales. Y con sus infinitos decimales no periódicos, ¿cómo se podrían ordenar? Si no sabemos cómo acaban. Son mayoría en la recta real, pero no se puede decir que los sepamos alinear entre ellos. Podemos compararlos con los naturales, por ejemplo. La raíz de 5 está entre el 2 y el 3. Pero eso no es decir mucho, puesto que hay infinitos números entre el 2 y el 3. Como aproximación, es un tanto vaga.

Viendo las variedades de infinito que hay, todas ellas infinitas, Georg Cantor (1845-1918) les dio muchas vueltas, hasta que definió diferentes órdenes del infinito... y fue internado en una clínica psiquiátrica. Nos damos por avisados.

Final del trayecto, por ahora, y la finalidad de aprender de números

El objetivo de este blog está cumplido, por ahora: dejar por escrito, en castellano y para todos los públicos, un recorrido del Uno al Doce, y una aproximación a algunos objetos matemáticos de interés.

Espero que lo encuentre quien lo necesite, y que quien lo necesite lo encuentre. A mí me ha ayudado a entender muchas cosas, y me quedan aún tantas.

Iré ampliando la bibliografía cuando encuentre más libros imprescindibles. También ampliaré los conceptos y sus interrelaciones, pero hasta aquí está lo más básico.

Disfrutad mucho de los números, seguramente se lo merecen y os lo merecéis.

Aprender para qué sirven los números vale la pena.

Cuando un número plasmado no se corresponde con lo que queremos de él, no es su culpa: el error es nuestro. Nos hemos equivocado de número.

No le pidamos a un Siete que haga lo que necesitamos... ¡si, en realidad, necesitamos un Doce! Solo conseguiremos incomodarnos porque el Siete no cumple nuestras expectativas. Y acabaremos poniendo nuestra energía a hacer de Doce pero, encima, habiendo de contrarrestar el Siete que tenemos delante. Un dispendio inútil.  

Si me hace falta una llave inglesa pero intento trabajar con un destornillador, me voy a cansar mucho y conseguiré poco, o nada.

Conocer lo que cada número hace por nosotros es la manera óptima de obtener lo que necesitamos, de que nuestro deseo, nuestra energía y nuestra realidad vayan a la vez. Si el número apoya el movimiento que estamos haciendo, nos costará menos hacerlo. Iremos a favor de la corriente.

El Cero

El Cero se suele dejar para el final, porque no apareció, como signo, hasta bien entrada la historia de los números. Varias culturas lo "inventaron", si es que se puede inventar el vacío, de forma independiente. Otras civilizaciones crecieron y cayeron sin haber usado jamás el Cero.

El signo con que nosotros designamos al cero proviene de la India, y es la marca que queda en la arena cuando quitas el guijarro que estabas usando para contar. Es un pequeño circulito, y está vacío.

No tiene ángulos, y eso lo hace plenamente compatible con los números árabes (que tienen tantos ángulos como el valor que designan).

Claro que el cero es mucho más que la nada: por un lado, es el espacio previo al número, o el lugar de donde saldrán todos los números... Por otro, el cero modifica la magnitud: no es lo mismo 10 que 10.000, o que 0,0001.

Dicen que cada número lleva la semilla del número siguiente. Qué apropiado, entonces, que el cero sea un círculo, que remite al uno; y que el uno sea una línea entre dos puntos, que evoca el dos...

El Cero es el Tao del daoísmo, el Ein de la cábala, el tiempo sin tiempo antes del sueño de Brahma del hinduismo, los momentos previos al "big bang". El Cero es la pausa, la nada de la que sale todo, el vacío que se deja llenar de universos.

Sin ser activo, es la cuna y la fuente de todas las acciones. Sin moverse, a partir de él se despliegan todos los vectores.

Avanzar hacia el Cero, como avanzar hacia lo infinito, exige un esfuerzo, una musculatura mental que no se suele usar demasiado. Al mismo tiempo, es todo lo contrario del esfuerzo: es soltar, más que agarrar.

Estas contradicciones son muy propias del Cero. Multiplicar por cero es posible, pero dividir entre cero no se puede. 

La circunferencia entre su diámetro

Para entender el número Π, vamos a retroceder un paso. Primero, lo vamos a mirar como una aproximación del valor 22/7; durante siglos se hizo así: a falta de más decimales,  Π era 3,14. Una circunferencia de valor 22, dividida entre su diámetro de valor 7, da como resultado 3,14285...
 
Hace tiempo que sabemos que cualquier circunferencia, dividida entre su diámetro, da el mismo valor: Π. También sabemos que  Π no es 3,14, ni 3,14285..., sino 3,1415926535... y muchos más decimales no periódicos (es decir, impredecibles). Los números 22 y 7 se tomaron, probablemente, porque eran enteros que aproximaban bastante bien este valor escurridizo.

Incluso hay poemas mnemotécnicos para aprenderse una buena parte del famoso número: la cantidad de letras de las palabras que los componen nos da la pista. Por ejemplo:

Soy y seré a todos definible - 314159
mi nombre tengo que daros - 26535
cociente diametral siempre inmedible -8979
soy de los redondos aros -32384...

O este otro:

Voy a amar a solas, deprimido - 314159
no sabrán jamás que sueño hallarte, -265358
perímetro difícil, escondido -979
que en mis neuronas late... -32384
Oscuro el camino para ver -62643
los secretos que tú ocultas -38327
¿hallarlos podré?... -95...

Dicho esto, vamos a buscar a Π en la naturaleza. Resulta que si medimos el cauce de cualquier río, con todos sus meandros, hasta el mar, y lo dividimos entre su longitud a vuelo de pájaro, en línea recta desde las fuentes hasta la desembocadura... el resultado es Π.

Hay quien ha pensado que Π es la relación entre lo curvo y lo recto. Entre la circunferencia y el diámetro. Entre el cauce y el vuelo de pájaro. Entonces, si también es la relación entre 22 y 7... ¿qué significa el 22? ¿Qué significa el 7?

El Siete lo vimos ya: siete colores, siete días, siete formas de crear un cristal, el Siete está por todas partes y no se ve. Más que una estructura, es una pre-estructura, un grupo de "maneras de hacer" previas al mundo.

El Veintidós remite directamente a las 22 letras hebreas, a los 22 senderos de Árbol de la Vida.

La relación entre ambos es la que existe entre lo más resumido (el 7) y lo más desplegado, lo más desparramado (el 22). Ouaknin (ver Bibliografía) dice que el Siete es un límite que ordena al Veintidós, potencialmente caótico. Que Π, pues, es la relación entre "caos" y "cosmos".

Hay un nombre de Dios que, en hebreo, tiene valor 314. ¿Adivinas qué significa ese nombre?

El triangulo de Pascal

Existe un “objeto” matemático muy fácil de crear, pero con gran número de implicaciones. Su aparente simplicidad no le impide contener muchísima información.

Se le ha llamado “el triángulo de Pascal” en la matemática occidental, en honor al matemático francés Blaise Pascal (1623-1662) En la oriental, su publicación es anterior: en 1303, el matemático Zu Si Jie ya lo conocía.

Se puede armar el triángulo sin dificultad: sólo se necesita saber sumar.

¿Cómo hacerlo? Escribe un “uno” como vértice superior del triángulo, y luego muchos “unos” más, en diagonal, formando los dos lados que parten de ese vértice:

                                                            1

                                                       1       1

                                                     1   __    1

                                                  1   __  __   1

                                               1   __  __  __  1

 

Entre los “unos” vamos a escribir otros números, rellenando los espacios a partir de la tercera fila. Estos nuevos números serán el resultado de sumar, para cada espacio, las dos cifras que tenga encima.

Por ejemplo, en la tercera fila, el espacio que queda en el centro tiene encima un 1 y otro 1; 1+1=2, en ese espacio va un 2.

En la cuarta fila, ambos espacios tienen encima un 1 y un 2, o un 2 y un 1; por lo tanto, ambos se rellenan con el mismo número, el 3.

                                                               1

                                                          1         1

                                                       1    _2_   1

                                                    1   _3_  _3_  1

                                                  1  _4_  _6_ _4_  1

La sexta fila sería 1-5-10-10-5-1, y así sucesivamente.

Podemos seguir hasta el infinito, los números siguen creciendo. Pero no son números cualesquiera.

Fijémonos en las diagonales:

-Las dos diagonales exteriores son todo “unos”. El uno, el punto.

-Las dos siguientes diagonales son la serie de los números naturales: 1-2-3-4-5-6… También son una representación de la línea, como marcas en una regla numerada.

-Las dos siguientes diagonales son la serie de los números triangulares: un triángulo puede llenarse con un punto, o con tres, o con seis, o con diez... recordemos la Tetraktys, 10 puntos.

Tres puntos no alineados son la mínima expresión de un plano.

-Las dos siguientes diagonales son la serie de los números tetraédricos: un tetraedro es un sólido platónico, como una “pirámide” de base triangular. De hecho, un tetraedro es la mínima expresión de espacio tridimensional. Pues resulta que los números tetraédricos son el 1, 4, 10, 20…

-Entonces, las siguientes diagonales, ¿qué expresan? Serán formas de expresión de dimensiones más allá de la tercera. Imaginemos esos objetos de cuarta dimensión.

También podemos fijarnos en las filas del triángulo de Pascal. Son las potencias de 11:

-Primera fila: 11⁰, es igual a 1,

-segunda fila:11¹, es igual a 11, 

-tercera fila:11², es igual a 121,

-cuarta fila:11³, es igual a 1331,

-quinta fila:11⁴, es igual a 14641...

A partir de ahí hay que “sumar llevando” para encontrar la cifra, pero los resultados de cada fila siguen siendo las potencias de 11.

También se pueden encontrar en el triángulo los números de la serie de Fibonacci:

1-1-2-3-5-8-13-21-34-55…

Se obtienen sumando unas diagonales un tanto especiales.

Puedes seguir investigando el triángulo: por ejemplo, encontrarás los resultados de las fórmulas (a+b)², (a+b)³ , etc.

Una peculiaridad del triángulo de Pascal es que al pintar de negro los impares y de blanco los pares, obtenemos un fractal llamado el triángulo de Sierpinski:

Este triángulo fractal es un auténtico saco de sorpresas, aparece como explicación matemática donde menos lo esperas.

Puedes investigarlo, por ejemplo, como solución al enigma de la Torre de Hanoi-3. Se trata de cambiar unas piezas de sitio siguiendo ciertas reglas. El camino a seguir se puede representar con un triángulo de Sierpinski.

El Once

El Once podría estar fuera de nuestra jurisdicción, dado que trasciende la década. Sin embargo, dado que hay buenas razones para estudiar también la base 12, y dado que explicamos algunos rasgos del Doce al hablar del Seis, vamos a mirar, siquiera brevemente, qué ocurre con el Once, quién es este número de dos cifras que viene justo después de la década.

Está claro que es primo, sin múltiplos salvo el Uno, y él mismo. El polígono de 11 lados o endecágono no se puede dibujar con las tres herramientas del geómetra, aunque vale la pena intentar una aproximación.

El Once se relaciona con las proporciones Tierra-Luna. Resulta que si el diámetro de nuestro planeta fuese Once, el de la Luna sería Tres.

También se relaciona al número Once con el valor de Π, que se solía aproximar como 22/7, y que es el resultado de dividir a la circunferencia entre su diámetro. De modo que 11/7 es igual a la mitad de Π y resulta de dividir la semicircunferencia entre su diámetro.

 

Los cuadrados mágicos

 Receta para crear un cuadrado mágico.

Ingredientes:

-Un cuadrado: el primero que funciona es el de 3x3, y puede ser de 4x4, de 5x5, etc (A esto se le llama el “orden”: un cuadrado de orden 3, de orden 4…)

-Los números del 1 al 9, o del 1 al 16, o del 1 al 25, según queramos llenar un cuadrado de 3x3, de 4x4, de 5x5…

-Mucha paciencia para ir probando, o un buen método que nos asegure el éxito.

Preparación:

-Se dibuja el cuadrado, la cuadrícula donde poner los números.

-Se sitúan éstos, teniendo en cuenta que todas las horizontales, verticales, y las 2 diagonales, deben sumar lo mismo. (A esto se le llama la "constante" del cuadrado. Por ejemplo, la constante de un cuadrado de orden 3 es 15.)

2	9	4
7	5	3
6	1	8

En el cuadrado de orden 3, la operación no es muy complicada. Esto es así porque sólo existe una forma de hacerlo. El 5 siempre va en el centro, y las otras ocho cifras pueden ir rotando a su alrededor, pero sólo de una determinada manera. (Claro: si pones 8, sumado a 5, da 13; la única posibilidad que queda para rellenar la línea es el 2.)

Este cuadrado se conoce desde hace mucho tiempo, desde el siglo XXIII a.C. Apareció en un caparazón de tortuga, y dio la clave del número de ofrendas adecuado para evitar unas riadas. El río de donde salió la tortuga era el río Lo, y el cuadrado se llama Lo Shu. Escrito “en chino”, queda así.

Las cifras impares son blancas (yang), las pares son negras (yin).

A medida que el cuadrado va subiendo de orden, la dificultad se incrementa, y existen varias posibilidades para cada cuadrado. El de orden 4, constante 34, puede quedar así:

 

4	14	15	1
9	7	6	12
5	11	10	8
16	2	3	13

 Otra representación de un cuadrado de orden 4, la hizo Albert Dürer en su grabado Melancholia. El cuadrado está en la parte superior, a la derecha.

Los dos números del centro de la cuarta fila son la fecha en que lo terminó: 1514. Además de que sus diagonales, filas y columnas sumen 34, en este grabado hay aún más regularidades. Por ejemplo, el cuadrado interior, de 2x2, también cumple la constante: la suma de sus cifras es 34. Igual que la suma de las esquinas: 34.

 

Dürer, o Durero, estaba muy interesado en los números. Es posible que se relacionase con Luca Pacioli, y definitivamente conocía la divina proporción. Melancholia entero está plagado de símbolos. La escalera que asciende, la tez oscura del ángel, el poliedro...

Los cuadrados mágicos se relacionan, según su orden, con los siete “planetas” más visibles desde la Tierra: Saturno (orden 3), Júpiter (orden 4), Marte (orden 5), el Sol (orden 6), Venus (orden 7), Mercurio (orden 8) y la Luna (orden 9). También se pueden relacionar estos números y astros con el Árbol de la Vida cabalístico.

Existen algunos métodos para la construcción de cuadrados mágicos. 

Puedes investigar, por ejemplo, el que enseña cómo construir un cuadrado de orden impar. Encontrarás ejemplos fácilmente.

Un gran matemático muy conocido: Pitágoras de Samos

Es cierto que Pitágoras es conocidísimo. El teorema que lleva su nombre se enseña en todas las escuelas. Lo que no es tan seguro es que hayamos captado la potencia de su pensamiento, comprendido qué estudiaba la secta pitagórica, o llegado a entender qué era, para Pitágoras, el número.

Para empezar, Pitágoras vivió del 570 al 495 a.C., aproximadamente. De eso hace mucho tiempo.  Además, dada su amistad y enemistad con varios dirigentes de su época, y dado que la historia suelen escribirla los vencedores, puede que no debamos creernos todo lo que se escribió sobre él. Tampoco serán del todo fiables los discípulos que, incluso siglos después, escribieron partes de su biografría…

Sabemos que Pitágoras nació en Samos, y que fue discípulo de Tales durante algunos años. También parece lógico que viajara, al menos hasta Egipto y Babilonia, y se formara allí. Después de sus viajes, volvió a Samos, donde acabó enemistándose con Polícrates, el dirigente que gobernaba en aquel momento.

Finalmente huyó de Samos para refugiarse en Crotona, donde disfrutó del mecenazgo de Milón. Allí fundo su escuela.

No era fácil ser admitido como discípulo. Ser mujer no era un impedimento, en ese sentido eran igualitarios. Pero había que ser capaz de callarse durante cinco años, el tiempo necesario para aprender a escuchar, sin decir nada, tras una cortina. Después entrabas a formar parte del grupo de los que recibían la enseñanza directamente.

La relevancia del oído se corresponde con la importancia que daba Pitágoras a las proporciones musicales. Es tradicional verlo representado explorando las armonías de las notas de la escala.

 

Pitágoras pudo ser el inventor de la palabra “filosofía”, amor por la sabiduría.

Su concepto del número era elevadísimo. El número era lo primero. Lo segundo era el poder de nombrar, de poner nombre a las cosas.

La naturaleza de cada número, tal y como se ha reflejado en este blog, era uno de los objetos de estudio de los pitagóricos. La primera década era especialmente sagrada, representada en forma de Tetraktys: punto, línea, plano y volumen. La Tetraktys se consideraba portadora de multitud de otras correspondencias que explicaban hasta los últimos niveles de la realidad, y cómo llegar al conocimiento más profundo, partiendo de la mera sensación.

Pitágoras y su escuela no admitían a todo el que venía, y eso les granjeó enemistades. Posiblemente una de ellas, la del rechazado Cilón, provocó su caída. Los discípulos que lograron escapar se diseminaron.

El secreto que debían guardar sobre los conocimientos que adquirieron hace que la figura de Pitágoras siga siendo misteriosa, aun a día de hoy.

El Diez, la década

El Diez es un Uno corregido y aumentado. De hecho, a cualquier cifra que “reforcemos”, poniéndole un cero detrás, le pasará lo mismo: por ejemplo, 40 es un 4 subido de volumen.

No existe un polígono de un solo lado. Lo mínimo son tres lados: el triángulo. De un “lado”, tenemos… ¿el círculo? Que no sabríamos decir si tiene un lado, o infinitos, o ninguno… En definitiva, el primer polígono donde interviene el Uno es precisamente el de diez caras, el decágono.

 

Se puede saber mucho del decágono mirando quienes son los múltiplos del 10. Así, el Diez participa de la energía del Cinco (exuberante, el quinto elemento), del Dos (la polaridad), y del Uno (el ciclo, el principio y el fin). Solamente con esta observación básica, ya captamos algo de su esencia: polarizado, eléctrico-magnético, regenerante y renovador.

Prueba a dibujar un decágono. Es posible hacerlo con lápiz, regla y compás. ¿Puedes embaldosar el suelo con decágonos?

Existen varios decálogos: además de los diez Mandamientos, también los musulmanes y los budistas cuentan con listas de diez preceptos.

El Diez remite al Uno, al Uno en su estadio “terminado”. En el Árbol de la Vida cabalístico, es la décima séfira, la más baja, el final del ciclo que se inició con la primera esfera, la más alta:

En términos taoístas, del Tao Te Ching:

El Tao engendra al Uno,

El Uno engendra al Dos,

El Dos engendra al Tres.

El Tres engendra a los diez mil seres.

Los diez mil seres llevan el Yin en sus espaldas y el Yang en sus frentes,

Y la armonía de su Chi depende del equilibrio de estas dos fuerzas.

El Diez (10) y sus potencias (el 100, el 1.000, el 10.000…) evocan lo completo, lo terminado, así como lo perfecto: “sacó un 10 en el examen”, “el cien por cien”.

Sri yantra

El Sri yantra es una forma muy curiosa, fruto de entrelazar nueve triángulos de una forma determinada.

Cuesta dibujarlo, porque en él todo depende de todo: cada línea implica a casi todas las demás. También se puede representar en tres dimensiones: hay templos con esta forma.

Hay varios métodos para dibujarlo. A mí me gusta éste:

http://www.youtube.com/watch?v=KLxPUoaBjQ8&feature=related

Laberintos

La palabra “laberinto” se refiere en castellano a dos conceptos diferenciados:

-Laberinto unicursal (en inglés, “labyrinth”): es un recorrido único desde la entrada hasta el centro. Pasando por todos los puntos, se llega de la realidad externa a la más interna. Es cuestión de resistencia: si aguantas hasta el final, llegas al centro. No hay pérdida posible. Hay algunos en catedrales, como el de Chartres.

 

-Laberinto multicursal (en inglés, “maze”): es un conjunto de recorridos de los cuales al menos uno lleva al centro o a la salida. Es posible perderse en esa búsqueda, aunque hay reglas sencillas para no hacerlo. Por ejemplo, tocar siempre la pared de nuestra izquierda, sin cruzar ningún pasillo ni abandonarla para nada. (Esto no es siempre posible, como me señala un amable lector del blog: si el laberinto multicursal es de conexión simple, es decir, que existe una "pared" que comunica el centro con el perímetro, entonces sí funciona. Pero si el laberinto multicursal es de conexión múltiple, porque no existe dicha "pared", podríamos quedarnos encerrados dentro, en un bucle, o salir del laberinto sin haber pasado jamás por su centro.)

El cretense es un laberinto unicursal. Se puede dibujar a partir de nueve puntos,

Primero se dibujan los nueve puntos:

Luego se unen así:

Después se empiezan a hacer los dibujos de las vueltas:

Hasta que queda el diseño terminado:

Tradicionalmente se caminaba “cantando” cada nivel, hasta cambiar de octava al llegar al centro, para representar un recorrido evolutivo. Las notas serían, desde la entrada: mi (ved como se entra directamente al tercer pasillo), re (pasando al segundo), do (el primero), fa (cuarto), si (séptimo), la (sexto), sol (quinto), do (centro).

El Nueve, el horizonte

El Nueve es el último número de la década. Claro, queda el Diez, pero el Diez no deja de ser un Uno ampliado. En realidad, lo que es posible acaba en el Nueve, y el Diez es simplemente un resultado, el producto terminado.

El Nueve tiene, en varios idiomas, relación con la palabra “nuevo”, aludiendo al hecho de que tras él viene algo totalmente diferente.

Así pues, mirando el Nueve estamos frente al horizonte: esa rayita que representa el límite de lo que vemos, pero que al mismo tiempo es inalcanzable. Como el polígono de nueve lados, que no puede ser dibujado con las tres herramientas del geómetra.

Podríamos pensar que si dividimos tan fácilmente el círculo en tres partes (y le inscribimos un triángulo, por ejemplo), será fácil dividir cada tercio en tres, y así obtener nueve. En realidad, la llamada “trisección del ángulo” es uno de los enigmas que, dice la tradición, planteó el oráculo de Delfos: es irresoluble. (El oráculo tenía la curiosa costumbre de plantear cuestiones sin solución, como “la cuadratura del círculo” o “doblar el volumen de un cubo”. O ésas son las anécdotas que nos han llegado.)

Prueba a dibujar un eneágono. Es imposible con lápiz, regla y compás, pero hay métodos aproximados. Dibuja también una estrella de nueve puntas. ¿Existen varias formas de hacerlo?

El hecho de que el nueve sea el límite, la última de las cifras, hace que se pueda usar para hacer comprobaciones de operaciones matemáticas. Quizá recordéis “la prueba del nueve”, que se puede usar para la suma, la resta, la multiplicación y la división.

Puedes ver la prueba del nueve en acción mirando este video:

http://www.youtube.com/watch?v=iW4-HU1vjHA

Si la usas, verás que todos los números mayores de nueve están hechos de “nueve, y algo más”, lo cual tiene una serie de consecuencias…

El Nueve aparece relativamente poco en la naturaleza: hay pocas flores de nueve pétalos, pocos brotes de nueve hojas. En la cola del espermatozoide hay nueve filamentos entrelazados, y en la mitosis de la célula intervienen unas estructuras, los centriolos, con forma de eneágono. Nueve meses pasamos en el útero materno antes de nacer.

Éstas son colas de espermatozoide en sección:

Este esquema representa el centriolo:

El laberinto cretense se puede crear a partir de nueve puntos:

Pasar una tarde divertida

Hace poco que he aprendido a hacer varias cosas:

Polígonos y estrellas con hilorama:

Fractales recortables: triángulo de Sierpinski, conjunto de Cantor y escalera fractal. 

 

Trenzas, de hasta ocho hebras:

Poliedros de origami modular:

Además de ser entretenidos, estos pasatiempos son relajantes, creativos y me ayudan a desarrollar la paciencia. ¡Muchas gracias a José Luis Rodríguez Blancas y Jaume Coll por enseñarme estas maravillas!

Si os apetece probar, aquí tenéis unos enlaces que explican la parte técnica:

http://topologia.wordpress.com/curso-2011-12/

Es el magnífico blog de José Luis Rodríguez. Aquí encontrarás las trenzas, los fractales de papel y un hilorama E8… y muchísimo más. Topología explicada de forma clara, con apoyo de videos y fotos.

Escribe "origami modular" en un buscador, y descubre las diferentes maneras de crear poliedros a partir de piezas de papiroflexia.