El triangulo de Pascal

Existe un “objeto” matemático muy fácil de crear, pero con gran número de implicaciones. Su aparente simplicidad no le impide contener muchísima información.

Se le ha llamado “el triángulo de Pascal” en la matemática occidental, en honor al matemático francés Blaise Pascal (1623-1662) En la oriental, su publicación es anterior: en 1303, el matemático Zu Si Jie ya lo conocía.

Se puede armar el triángulo sin dificultad: sólo se necesita saber sumar.

¿Cómo hacerlo? Escribe un “uno” como vértice superior del triángulo, y luego muchos “unos” más, en diagonal, formando los dos lados que parten de ese vértice:

                                                            1

                                                       1       1

                                                     1   __    1

                                                  1   __  __   1

                                               1   __  __  __  1

 

Entre los “unos” vamos a escribir otros números, rellenando los espacios a partir de la tercera fila. Estos nuevos números serán el resultado de sumar, para cada espacio, las dos cifras que tenga encima.

Por ejemplo, en la tercera fila, el espacio que queda en el centro tiene encima un 1 y otro 1; 1+1=2, en ese espacio va un 2.

En la cuarta fila, ambos espacios tienen encima un 1 y un 2, o un 2 y un 1; por lo tanto, ambos se rellenan con el mismo número, el 3.

                                                               1

                                                          1         1

                                                       1    _2_   1

                                                    1   _3_  _3_  1

                                                  1  _4_  _6_ _4_  1

La sexta fila sería 1-5-10-10-5-1, y así sucesivamente.

Podemos seguir hasta el infinito, los números siguen creciendo. Pero no son números cualesquiera.

Fijémonos en las diagonales:

-Las dos diagonales exteriores son todo “unos”. El uno, el punto.

-Las dos siguientes diagonales son la serie de los números naturales: 1-2-3-4-5-6… También son una representación de la línea, como marcas en una regla numerada.

-Las dos siguientes diagonales son la serie de los números triangulares: un triángulo puede llenarse con un punto, o con tres, o con seis, o con diez... recordemos la Tetraktys, 10 puntos.

Tres puntos no alineados son la mínima expresión de un plano.

-Las dos siguientes diagonales son la serie de los números tetraédricos: un tetraedro es un sólido platónico, como una “pirámide” de base triangular. De hecho, un tetraedro es la mínima expresión de espacio tridimensional. Pues resulta que los números tetraédricos son el 1, 4, 10, 20…

-Entonces, las siguientes diagonales, ¿qué expresan? Serán formas de expresión de dimensiones más allá de la tercera. Imaginemos esos objetos de cuarta dimensión.

También podemos fijarnos en las filas del triángulo de Pascal. Son las potencias de 11:

-Primera fila: 11⁰, es igual a 1,

-segunda fila:11¹, es igual a 11, 

-tercera fila:11², es igual a 121,

-cuarta fila:11³, es igual a 1331,

-quinta fila:11⁴, es igual a 14641...

A partir de ahí hay que “sumar llevando” para encontrar la cifra, pero los resultados de cada fila siguen siendo las potencias de 11.

También se pueden encontrar en el triángulo los números de la serie de Fibonacci:

1-1-2-3-5-8-13-21-34-55…

Se obtienen sumando unas diagonales un tanto especiales.

Puedes seguir investigando el triángulo: por ejemplo, encontrarás los resultados de las fórmulas (a+b)², (a+b)³ , etc.

Una peculiaridad del triángulo de Pascal es que al pintar de negro los impares y de blanco los pares, obtenemos un fractal llamado el triángulo de Sierpinski:

Este triángulo fractal es un auténtico saco de sorpresas, aparece como explicación matemática donde menos lo esperas.

Puedes investigarlo, por ejemplo, como solución al enigma de la Torre de Hanoi-3. Se trata de cambiar unas piezas de sitio siguiendo ciertas reglas. El camino a seguir se puede representar con un triángulo de Sierpinski.