Los ángulos del Doce

Con el geoplano circular de doce puntos, construimos un dodecágono.

Nos preguntamos sobre los ángulos que se ven en esa figura. ¿Se pueden deducir, sin medirlos?

A veces, algo parece de verdad, pero no encaja. Como en esas películas antiguas de Godzilla, donde un bicho prehistórico enorme se mueve rápido como un insecto. ¿Por qué no nos lo creemos? Porque hay algo que todo animalucho, grande o pequeño, tiene en común, en este planeta: la ley de la gravedad. Y un monstruo grandioso no puede moverse de según qué manera. Se caería, o la inercia haría que fuese más patoso, más lento.

En el plano, en relación con los polígonos regulares, hay una "verdad" que hará las veces de la fuerza de la gravedad: el hecho de que dividimos la circunferencia en 360 grados. (Claro, en una idea euclidiana del plano. Si eres Lobatchevski, tus planos son harina de otro costal.) 

Se puede pensar que ese número, el 360, es una convención. Pero el hecho de que el Doce y sus múltiplos se usen, muy a menudo y en culturas diversas, para dividir espacio y, sobre todo, tiempo... no es casualidad. El Doce tiene muchos divisores (1, 2, 3, 4, 6, 12) y eso facilita la tarea. ¡Participa de las cualidades de todos esos divisores! El Doce se ha ganado las funciones que desempeña por derecho propio.

Entonces, partimos de un polígono que divide una circunferencia plana de 360º en 12 partes iguales. En el ángulo central, ¿cuánto le toca a cada parte?

¿Lo calculas tú?

Luego queremos saber el ángulo en el vértice del polígono. No sabemos cuál es, en el dodecágono. Vamos a ver si lo deducimos.

Sí que sabemos que en el triángulo regular, ese ángulo es de 60º. El central es de 120º (porque 360º entre tres lados, toca a 120º por lado).

También sabemos que en el cuadrado, ese ángulo en el vértice es de 90º. El central es de 90º (porque 360º entre cuatro lados, toca a 90º por lado).

Del pentágono, imaginad que no nos acordamos del ángulo en el vértice. El central es de 72º.

También sabemos que en el hexágono, ese ángulo en el vértice es de 120º. El central es de 60º (porque 360º entre seis lados, toca a 60º por lado).

Miramos los resultados:
-triángulo: 60º y 120º.
-cuadrado: 90º y 90º.
-hexágono: 120º y 60º.

Sospechoso... todos los resultados suman 180º. Raíz digital: 9.

Entonces, si tenemos un dodecágono: el ángulo central sería de 30º (360º entre doce partes) y el ángulo en el vértice sería de 150º. Juntos, 30º y 150º (raíces digitales: 3 y 6) suman 180º.

Entonces podemos deducir este otro ángulo, el del "quesito" de 1/12 parte del círculo, el que resulta de coger 30º en el ángulo central: es la mitad del ángulo de 150º, por lo tanto, 75º (raíz digital: 3).

Y podemos mirar el rectángulo que podemos hacer cruzando el dodecágono, formado con cuatro ángulos rectos, y este triángulo que lleva dentro:

Haciendo los cálculos sabiendo que los ángulos del rectángulo son rectos, veremos que el ángulo chiquito, agudo, es de 15º, y el grande, obtuso, es de 150º (de nuevo, raíces digitales 6 y 6).

Investigad qué pasa con el otro rectángulo, el mismo que también se forma en el hexágono regular, ése que se llama "rectángulo dinámico raíz de tres".

Dentro del Doce viven sus divisores. Por eso es capaz de hacer aquello que hace.

Se puede seguir, investigando los ángulos presentes en las estrellas dodecagonales.

Viendo la multitud de formas que se encuentran en del dodecágono, su belleza, su fuerza, su rectitud... ya no nos va a parecer tan extraño que se haya usado el Doce para contar tantas cosas.