El triangulo de Pascal

Existe un “objeto” matemático muy fácil de crear, pero con gran número de implicaciones. Su aparente simplicidad no le impide contener muchísima información.

Se le ha llamado “el triángulo de Pascal” en la matemática occidental, en honor al matemático francés Blaise Pascal (1623-1662) En la oriental, su publicación es anterior: en 1303, el matemático Zu Si Jie ya lo conocía.

Se puede armar el triángulo sin dificultad: sólo se necesita saber sumar.

¿Cómo hacerlo? Escribe un “uno” como vértice superior del triángulo, y luego muchos “unos” más, en diagonal, formando los dos lados que parten de ese vértice:

                                                            1

                                                       1       1

                                                     1   __    1

                                                  1   __  __   1

                                               1   __  __  __  1

 

Entre los “unos” vamos a escribir otros números, rellenando los espacios a partir de la tercera fila. Estos nuevos números serán el resultado de sumar, para cada espacio, las dos cifras que tenga encima.

Por ejemplo, en la tercera fila, el espacio que queda en el centro tiene encima un 1 y otro 1; 1+1=2, en ese espacio va un 2.

En la cuarta fila, ambos espacios tienen encima un 1 y un 2, o un 2 y un 1; por lo tanto, ambos se rellenan con el mismo número, el 3.

                                                               1

                                                          1         1

                                                       1    _2_   1

                                                    1   _3_  _3_  1

                                                  1  _4_  _6_ _4_  1

La sexta fila sería 1-5-10-10-5-1, y así sucesivamente.

Podemos seguir hasta el infinito, los números siguen creciendo. Pero no son números cualesquiera.

Fijémonos en las diagonales:

-Las dos diagonales exteriores son todo “unos”. El uno, el punto.

-Las dos siguientes diagonales son la serie de los números naturales: 1-2-3-4-5-6… También son una representación de la línea, como marcas en una regla numerada.

-Las dos siguientes diagonales son la serie de los números triangulares: un triángulo puede llenarse con un punto, o con tres, o con seis, o con diez... recordemos la Tetraktys, 10 puntos.

Tres puntos no alineados son la mínima expresión de un plano.

-Las dos siguientes diagonales son la serie de los números tetraédricos: un tetraedro es un sólido platónico, como una “pirámide” de base triangular. De hecho, un tetraedro es la mínima expresión de espacio tridimensional. Pues resulta que los números tetraédricos son el 1, 4, 10, 20…

-Entonces, las siguientes diagonales, ¿qué expresan? Serán formas de expresión de dimensiones más allá de la tercera. Imaginemos esos objetos de cuarta dimensión.

También podemos fijarnos en las filas del triángulo de Pascal. Son las potencias de 11:

-Primera fila: 11⁰, es igual a 1,

-segunda fila:11¹, es igual a 11, 

-tercera fila:11², es igual a 121,

-cuarta fila:11³, es igual a 1331,

-quinta fila:11⁴, es igual a 14641...

A partir de ahí hay que “sumar llevando” para encontrar la cifra, pero los resultados de cada fila siguen siendo las potencias de 11.

También se pueden encontrar en el triángulo los números de la serie de Fibonacci:

1-1-2-3-5-8-13-21-34-55…

Se obtienen sumando unas diagonales un tanto especiales.

Puedes seguir investigando el triángulo: por ejemplo, encontrarás los resultados de las fórmulas (a+b)², (a+b)³ , etc.

Una peculiaridad del triángulo de Pascal es que al pintar de negro los impares y de blanco los pares, obtenemos un fractal llamado el triángulo de Sierpinski:

Este triángulo fractal es un auténtico saco de sorpresas, aparece como explicación matemática donde menos lo esperas.

Puedes investigarlo, por ejemplo, como solución al enigma de la Torre de Hanoi-3. Se trata de cambiar unas piezas de sitio siguiendo ciertas reglas. El camino a seguir se puede representar con un triángulo de Sierpinski.

El Once

El Once podría estar fuera de nuestra jurisdicción, dado que trasciende la década. Sin embargo, dado que hay buenas razones para estudiar también la base 12, y dado que explicamos algunos rasgos del Doce al hablar del Seis, vamos a mirar, siquiera brevemente, qué ocurre con el Once, quién es este número de dos cifras que viene justo después de la década.

Está claro que es primo, sin múltiplos salvo el Uno, y él mismo. El polígono de 11 lados o endecágono no se puede dibujar con las tres herramientas del geómetra, aunque vale la pena intentar una aproximación.

El Once se relaciona con las proporciones Tierra-Luna. Resulta que si el diámetro de nuestro planeta fuese Once, el de la Luna sería Tres.

También se relaciona al número Once con el valor de Π, que se solía aproximar como 22/7, y que es el resultado de dividir a la circunferencia entre su diámetro. De modo que 11/7 es igual a la mitad de Π y resulta de dividir la semicircunferencia entre su diámetro.

 

Los cuadrados mágicos

 Receta para crear un cuadrado mágico.

Ingredientes:

-Un cuadrado: el primero que funciona es el de 3x3, y puede ser de 4x4, de 5x5, etc (A esto se le llama el “orden”: un cuadrado de orden 3, de orden 4…)

-Los números del 1 al 9, o del 1 al 16, o del 1 al 25, según queramos llenar un cuadrado de 3x3, de 4x4, de 5x5…

-Mucha paciencia para ir probando, o un buen método que nos asegure el éxito.

Preparación:

-Se dibuja el cuadrado, la cuadrícula donde poner los números.

-Se sitúan éstos, teniendo en cuenta que todas las horizontales, verticales, y las 2 diagonales, deben sumar lo mismo. (A esto se le llama la "constante" del cuadrado. Por ejemplo, la constante de un cuadrado de orden 3 es 15.)

2	9	4
7	5	3
6	1	8

En el cuadrado de orden 3, la operación no es muy complicada. Esto es así porque sólo existe una forma de hacerlo. El 5 siempre va en el centro, y las otras ocho cifras pueden ir rotando a su alrededor, pero sólo de una determinada manera. (Claro: si pones 8, sumado a 5, da 13; la única posibilidad que queda para rellenar la línea es el 2.)

Este cuadrado se conoce desde hace mucho tiempo, desde el siglo XXIII a.C. Apareció en un caparazón de tortuga, y dio la clave del número de ofrendas adecuado para evitar unas riadas. El río de donde salió la tortuga era el río Lo, y el cuadrado se llama Lo Shu. Escrito “en chino”, queda así.

Las cifras impares son blancas (yang), las pares son negras (yin).

A medida que el cuadrado va subiendo de orden, la dificultad se incrementa, y existen varias posibilidades para cada cuadrado. El de orden 4, constante 34, puede quedar así:

 

4	14	15	1
9	7	6	12
5	11	10	8
16	2	3	13

 Otra representación de un cuadrado de orden 4, la hizo Albert Dürer en su grabado Melancholia. El cuadrado está en la parte superior, a la derecha.

Los dos números del centro de la cuarta fila son la fecha en que lo terminó: 1514. Además de que sus diagonales, filas y columnas sumen 34, en este grabado hay aún más regularidades. Por ejemplo, el cuadrado interior, de 2x2, también cumple la constante: la suma de sus cifras es 34. Igual que la suma de las esquinas: 34.

 

Dürer, o Durero, estaba muy interesado en los números. Es posible que se relacionase con Luca Pacioli, y definitivamente conocía la divina proporción. Melancholia entero está plagado de símbolos. La escalera que asciende, la tez oscura del ángel, el poliedro...

Los cuadrados mágicos se relacionan, según su orden, con los siete “planetas” más visibles desde la Tierra: Saturno (orden 3), Júpiter (orden 4), Marte (orden 5), el Sol (orden 6), Venus (orden 7), Mercurio (orden 8) y la Luna (orden 9). También se pueden relacionar estos números y astros con el Árbol de la Vida cabalístico.

Existen algunos métodos para la construcción de cuadrados mágicos. 

Puedes investigar, por ejemplo, el que enseña cómo construir un cuadrado de orden impar. Encontrarás ejemplos fácilmente.

Un gran matemático muy conocido: Pitágoras de Samos

Es cierto que Pitágoras es conocidísimo. El teorema que lleva su nombre se enseña en todas las escuelas. Lo que no es tan seguro es que hayamos captado la potencia de su pensamiento, comprendido qué estudiaba la secta pitagórica, o llegado a entender qué era, para Pitágoras, el número.

Para empezar, Pitágoras vivió del 570 al 495 a.C., aproximadamente. De eso hace mucho tiempo.  Además, dada su amistad y enemistad con varios dirigentes de su época, y dado que la historia suelen escribirla los vencedores, puede que no debamos creernos todo lo que se escribió sobre él. Tampoco serán del todo fiables los discípulos que, incluso siglos después, escribieron partes de su biografría…

Sabemos que Pitágoras nació en Samos, y que fue discípulo de Tales durante algunos años. También parece lógico que viajara, al menos hasta Egipto y Babilonia, y se formara allí. Después de sus viajes, volvió a Samos, donde acabó enemistándose con Polícrates, el dirigente que gobernaba en aquel momento.

Finalmente huyó de Samos para refugiarse en Crotona, donde disfrutó del mecenazgo de Milón. Allí fundo su escuela.

No era fácil ser admitido como discípulo. Ser mujer no era un impedimento, en ese sentido eran igualitarios. Pero había que ser capaz de callarse durante cinco años, el tiempo necesario para aprender a escuchar, sin decir nada, tras una cortina. Después entrabas a formar parte del grupo de los que recibían la enseñanza directamente.

La relevancia del oído se corresponde con la importancia que daba Pitágoras a las proporciones musicales. Es tradicional verlo representado explorando las armonías de las notas de la escala.

 

Pitágoras pudo ser el inventor de la palabra “filosofía”, amor por la sabiduría.

Su concepto del número era elevadísimo. El número era lo primero. Lo segundo era el poder de nombrar, de poner nombre a las cosas.

La naturaleza de cada número, tal y como se ha reflejado en este blog, era uno de los objetos de estudio de los pitagóricos. La primera década era especialmente sagrada, representada en forma de Tetraktys: punto, línea, plano y volumen. La Tetraktys se consideraba portadora de multitud de otras correspondencias que explicaban hasta los últimos niveles de la realidad, y cómo llegar al conocimiento más profundo, partiendo de la mera sensación.

Pitágoras y su escuela no admitían a todo el que venía, y eso les granjeó enemistades. Posiblemente una de ellas, la del rechazado Cilón, provocó su caída. Los discípulos que lograron escapar se diseminaron.

El secreto que debían guardar sobre los conocimientos que adquirieron hace que la figura de Pitágoras siga siendo misteriosa, aun a día de hoy.

El Diez, la década

El Diez es un Uno corregido y aumentado. De hecho, a cualquier cifra que “reforcemos”, poniéndole un cero detrás, le pasará lo mismo: por ejemplo, 40 es un 4 subido de volumen.

No existe un polígono de un solo lado. Lo mínimo son tres lados: el triángulo. De un “lado”, tenemos… ¿el círculo? Que no sabríamos decir si tiene un lado, o infinitos, o ninguno… En definitiva, el primer polígono donde interviene el Uno es precisamente el de diez caras, el decágono.

 

Se puede saber mucho del decágono mirando quienes son los múltiplos del 10. Así, el Diez participa de la energía del Cinco (exuberante, el quinto elemento), del Dos (la polaridad), y del Uno (el ciclo, el principio y el fin). Solamente con esta observación básica, ya captamos algo de su esencia: polarizado, eléctrico-magnético, regenerante y renovador.

Prueba a dibujar un decágono. Es posible hacerlo con lápiz, regla y compás. ¿Puedes embaldosar el suelo con decágonos?

Existen varios decálogos: además de los diez Mandamientos, también los musulmanes y los budistas cuentan con listas de diez preceptos.

El Diez remite al Uno, al Uno en su estadio “terminado”. En el Árbol de la Vida cabalístico, es la décima séfira, la más baja, el final del ciclo que se inició con la primera esfera, la más alta:

En términos taoístas, del Tao Te Ching:

El Tao engendra al Uno,

El Uno engendra al Dos,

El Dos engendra al Tres.

El Tres engendra a los diez mil seres.

Los diez mil seres llevan el Yin en sus espaldas y el Yang en sus frentes,

Y la armonía de su Chi depende del equilibrio de estas dos fuerzas.

El Diez (10) y sus potencias (el 100, el 1.000, el 10.000…) evocan lo completo, lo terminado, así como lo perfecto: “sacó un 10 en el examen”, “el cien por cien”.

Sri yantra

El Sri yantra es una forma muy curiosa, fruto de entrelazar nueve triángulos de una forma determinada.

Cuesta dibujarlo, porque en él todo depende de todo: cada línea implica a casi todas las demás. También se puede representar en tres dimensiones: hay templos con esta forma.

Hay varios métodos para dibujarlo. A mí me gusta éste:

http://www.youtube.com/watch?v=KLxPUoaBjQ8&feature=related

Laberintos

La palabra “laberinto” se refiere en castellano a dos conceptos diferenciados:

-Laberinto unicursal (en inglés, “labyrinth”): es un recorrido único desde la entrada hasta el centro. Pasando por todos los puntos, se llega de la realidad externa a la más interna. Es cuestión de resistencia: si aguantas hasta el final, llegas al centro. No hay pérdida posible. Hay algunos en catedrales, como el de Chartres.

 

-Laberinto multicursal (en inglés, “maze”): es un conjunto de recorridos de los cuales al menos uno lleva al centro o a la salida. Es posible perderse en esa búsqueda, aunque hay reglas sencillas para no hacerlo. Por ejemplo, tocar siempre la pared de nuestra izquierda, sin cruzar ningún pasillo ni abandonarla para nada. (Esto no es siempre posible, como me señala un amable lector del blog: si el laberinto multicursal es de conexión simple, es decir, que existe una "pared" que comunica el centro con el perímetro, entonces sí funciona. Pero si el laberinto multicursal es de conexión múltiple, porque no existe dicha "pared", podríamos quedarnos encerrados dentro, en un bucle, o salir del laberinto sin haber pasado jamás por su centro.)

El cretense es un laberinto unicursal. Se puede dibujar a partir de nueve puntos,

Primero se dibujan los nueve puntos:

Luego se unen así:

Después se empiezan a hacer los dibujos de las vueltas:

Hasta que queda el diseño terminado:

Tradicionalmente se caminaba “cantando” cada nivel, hasta cambiar de octava al llegar al centro, para representar un recorrido evolutivo. Las notas serían, desde la entrada: mi (ved como se entra directamente al tercer pasillo), re (pasando al segundo), do (el primero), fa (cuarto), si (séptimo), la (sexto), sol (quinto), do (centro).

El Nueve, el horizonte

El Nueve es el último número de la década. Claro, queda el Diez, pero el Diez no deja de ser un Uno ampliado. En realidad, lo que es posible acaba en el Nueve, y el Diez es simplemente un resultado, el producto terminado.

El Nueve tiene, en varios idiomas, relación con la palabra “nuevo”, aludiendo al hecho de que tras él viene algo totalmente diferente.

Así pues, mirando el Nueve estamos frente al horizonte: esa rayita que representa el límite de lo que vemos, pero que al mismo tiempo es inalcanzable. Como el polígono de nueve lados, que no puede ser dibujado con las tres herramientas del geómetra.

Podríamos pensar que si dividimos tan fácilmente el círculo en tres partes (y le inscribimos un triángulo, por ejemplo), será fácil dividir cada tercio en tres, y así obtener nueve. En realidad, la llamada “trisección del ángulo” es uno de los enigmas que, dice la tradición, planteó el oráculo de Delfos: es irresoluble. (El oráculo tenía la curiosa costumbre de plantear cuestiones sin solución, como “la cuadratura del círculo” o “doblar el volumen de un cubo”. O ésas son las anécdotas que nos han llegado.)

Prueba a dibujar un eneágono. Es imposible con lápiz, regla y compás, pero hay métodos aproximados. Dibuja también una estrella de nueve puntas. ¿Existen varias formas de hacerlo?

El hecho de que el nueve sea el límite, la última de las cifras, hace que se pueda usar para hacer comprobaciones de operaciones matemáticas. Quizá recordéis “la prueba del nueve”, que se puede usar para la suma, la resta, la multiplicación y la división.

Puedes ver la prueba del nueve en acción mirando este video:

http://www.youtube.com/watch?v=iW4-HU1vjHA

Si la usas, verás que todos los números mayores de nueve están hechos de “nueve, y algo más”, lo cual tiene una serie de consecuencias…

El Nueve aparece relativamente poco en la naturaleza: hay pocas flores de nueve pétalos, pocos brotes de nueve hojas. En la cola del espermatozoide hay nueve filamentos entrelazados, y en la mitosis de la célula intervienen unas estructuras, los centriolos, con forma de eneágono. Nueve meses pasamos en el útero materno antes de nacer.

Éstas son colas de espermatozoide en sección:

Este esquema representa el centriolo:

El laberinto cretense se puede crear a partir de nueve puntos: