Pasar una tarde divertida

Hace poco que he aprendido a hacer varias cosas:

Polígonos y estrellas con hilorama:

Fractales recortables: triángulo de Sierpinski, conjunto de Cantor y escalera fractal. 

 

Trenzas, de hasta ocho hebras:

Poliedros de origami modular:

Además de ser entretenidos, estos pasatiempos son relajantes, creativos y me ayudan a desarrollar la paciencia. ¡Muchas gracias a José Luis Rodríguez Blancas y Jaume Coll por enseñarme estas maravillas!

Si os apetece probar, aquí tenéis unos enlaces que explican la parte técnica:

http://topologia.wordpress.com/curso-2011-12/

Es el magnífico blog de José Luis Rodríguez. Aquí encontrarás las trenzas, los fractales de papel y un hilorama E8… y muchísimo más. Topología explicada de forma clara, con apoyo de videos y fotos.

Escribe "origami modular" en un buscador, y descubre las diferentes maneras de crear poliedros a partir de piezas de papiroflexia.

El Ocho

Viniendo de la total abstracción que el Siete representa, con el Ocho volvemos a algo más terrenal. El Ocho tiene relación con el Cuatro y con el Dos, de manera que es un número sólido y firme, asentado de pleno en la dualidad.

Dibuja un octógono, es fácil a partir de un cuadrado. También se puede hacer a partir de dos círculos, y cuatro más.

Para los griegos, era un número “justo”, ya que se podía repartir, en sucesivas mitades, hasta llegar a la unidad, al Uno. También tiene otra propiedad compartida con éste: es cúbico. Esto significa que 2x2x2 son 8, igual que 1x1x1 es 1. Son los dos únicos números cúbicos que hay dentro de la década, del Uno al Diez.

Aunque a ojos occidentales el Ocho no parezca tan atractivo como su predecesor, en Oriente se lo considera un número de la suerte. Existen las ocho nobles virtudes del budismo y los ocho trigramas del Yijing. 

Vemos ejemplos de ocho en muchas iglesias: para pasar del Uno de la cúpula esférica al Cuatro de la planta cuadrada, se usa una estructura de ocho lados.

Las arañas tienen ocho patas, y se dedican a tejer la trama del universo; hay muchos mitos al respecto. También los pulpos y algunas medusas tienen ocho tentáculos.

La escala musical tiene siete notas que desembocan de nuevo en la primera al completar una octava. Por eso, el Ocho es sinónimo de renovación, de vuelta de tuerca.

Esta renovación se observa también en la octava columna de la tabla periódica. En ella viven los átomos más estables, los gases nobles, que ocupan la columna VIII porque tienen 8 electrones en sus niveles exteriores. Ese hecho hace que un átomo no necesite nada más, no tenga tendencia a soltar o adoptar electrones, ya que dispone en sí mismo de una total estabilidad. A medida que avanza la tabla, cada cierto número de elementos, se vuelven a dar las condiciones para que surja un gas noble. Helio, neón, argón, kriptón, xenón, radón son las sucesivas octavas de esta periodicidad: la del Ocho.

Investiga la configuración electrónica de los gases nobles, cómo rellenan su nivel exterior con un orbital “p”, donde caben 6 electrones, y uno “s”, donde caben 2.

El ajedrez es otra manifestación del ocho. Dos jugadores (2), un cuadrado (4), ocho filas y columnas (8x8), ilustran un combate entre luz y oscuridad, que tiene lugar en la Tierra (cuadrado), a través de los ocho movimientos posibles (delante, detrás, a derecha, a izquierda o en las 4 diagonales). Las diferentes figuras que pasean por el tablero tienen diferentes posibilidades de movimiento, desde el peón (1 posibilidad, y otra más en caso de amenaza), hasta el rey (8 acciones posibles). Hay millones de jugadas, la complejidad que se despliega en el tablero es inconmensurable.

Investiga el simbolismo que hay detrás de cada pieza del ajedrez, y de cada tipo de movimiento (siguiendo la vertical o la horizontal el cuadrado; siguiendo las diagonales del cuadrado; o saltando, como el caballo). El ajedrez es una explicación de realidades no visibles, representadas en un juego que podemos percibir, tocar.

El diagrama del contador de arena

Este esquema, en apariencia sencillo, permite dividir un segmento en porciones “fáciles”, como la mitad, el tercio o el cuarto, y también en otras más complicadas de calcular, como la séptima o la onceava parte.

El nombre del diagrama proviene de un libro de Arquímedes, en el que el famoso filósofo intentó contar los granos de arena del universo, después de deducir que se trataba de una cifra finita, aunque gigantesca. 

Fue Malcolm Stewart quien bautizó a este diagrama, después de estudiarlo largamente.

Para dibujarlo, partimos de un segmento y lo transformamos en cuadrado, trazando luego las líneas necesarias para formar cuatro triángulos, así:

Nos queda, pues, este diagrama, llamado "el diagrama del contador de arena", o también "el corte de la estrella" ("the star cut"):

A partir de él, podemos trazar otras líneas que nos brindarán las proporciones siguientes:

-La mitad, el cuarto

-El tercio

-La séptima parte

-La onceava parte

Este diagrama esconde muchos más secretos, y es muy fácil de dibujar.

Prueba a dibujarlo, a partir del cuadrado, y encuentra más proporciones en su interior.

El triskel

Esta forma se llama triskel. Se dice que es de origen celta. Es una rueda de ruedas, está relacionada con el Uno y con el Tres. Por lo tanto, tiene que ver con un ciclo (dado que su forma es redonda) y con una trinidad (hay quien explica el triskel como un nacer-morir-renacer). Lo encontraréis en muchos edificios, en forma de ventana.

Nota su energía. Puedes usarlos para armonizar un espacio, poniéndolos donde sientas que hacen falta.

El Siete, la virgen

Hasta ahora, los números que hemos ido conociendo han sido “posibles”. El Siete nos lleva a territorio imposible, aunque real.

En griego antiguo, no había un conjunto de signos para representar a los números, sino que las letras eran también cifras. De modo que una palabra podía leerse así: “Atenea” o así: "77". Establecer relaciones entre palabra y número era mucho más fácil, casi automático.

El número Siete se asocia, precisamente, a Atenea. Esta diosa nació el día que a su padre Zeus le dio tal dolor de cabeza (después de haberse tragado a su mujer, Metis) que el herrero tuvo que darle un hachazo en el cráneo. De la brecha salió, adulta y vestida para la guerra, Palas Atenea Partenos.

Atenea es una diosa especial, por haber nacido ya completa. No se casó, y siguió siendo virgen toda su vida, de ahí que fuese llamada “Palas”  y “Partenos”, que quieren decir “doncella” y “virgen”. El nombre de Atenea, también escrito Atene y Atana, podría provenir de a-thanos, “sin muerte”: eterna.

¿Por qué el Siete es un número “imposible”? Se puede, con lápiz, regla y compás, dibujar un polígono regular de tres, cuatro, cinco o seis lados. Nos costará más o menos, pero se puede. Sin embargo, no hay forma de dibujar un heptágono exacto. Igualmente, veremos que no hay manera de  “apresar” el concepto del Siete: es escurridizo, está en el mundo pero no se deja ver directamente.

Hay siete colores en el arco iris. Hay siete días en la semana, que corresponden con siete cuerpos celestes: Lunes (Luna), Martes (Marte), Miércoles (Mercurio), Jueves (Júpiter), Viernes (Venus), Sábado (Saturno) y Domingo (Sol). Hay siete estructuras cristalinas, siete y no más. Hay siete notas en la escala musical. Hay Siete chakras o centros energéticos principales.

Busca el Siete. En la naturaleza es poco probable encontrarlo directamente; aun así, búscalo. Para muchas personas, es un número de la suerte, y hay muchos nombres de libros, películas, etc, que lo contienen.

El Siete es esencial, y a la vez abstracto. Miremos una estrella heptagonal, y notaremos que nuestra mirada no puede quedarse quieta, es como si estuviese buscando una lógica que se le escapa. Como el arco iris, que no puede ser alcanzado y atravesado, ya que siempre queda un poquito más allá.

Grandes matemáticos desconocidos: los creadores de Stonehenge

Los matemáticos más conocidos para un europeo suelen ser los de su tradición: la occidental. Claramente, los griegos quedan dentro de esta línea. Los egipcios, con su alfabeto curioso y sus pirámides, no tanto; por algo se llama “jeroglífico” a un dibujo complicado, que hay que descifrar.

La cuestión es que hay muchos matemáticos desconocidos, especialmente los de las culturas más alejadas, sean en el espacio o en el tiempo. Esta vez nos centraremos en los matemáticos/físicos/astrónomos que construyeron un círculo megalítico en la isla de la Gran Bretaña, entre la Edad de Piedra y la de Bronce (entre el 2.400 y el 1.700 a.C). Hablamos de Stonehenge.

El hecho de que Stonehenge no venga con una explicación, dado que se considera prehistórico (y, por tanto, anterior a la escritura) no nos tiene que molestar. Mirándolo matemáticamente, observando sus proporciones y orientación, tendremos información de sobra para admirarlo debidamente.

De esta forma, vamos a dejar de lado las incógnitas de quiénes fueron sus arquitectos, para concentrarnos en lo que llevaron a cabo, en la obra en sí misma.

Stonehenge consistió en varios círculos concéntricos de enormes piedras rectangulares, coronados por otras piedras en forma de arco de circunferencia; estos círculos tenían dentro otra construcción en forma de herradura. En el interior de la herradura hay una piedra que se ha llamado el “altar”. Hay que decir que hoy día esta estructura está desfigurada, puesto que muchas de las piedras no están, o están caídas.

El origen de algunas de las piedras se ha podido determinar: vinieron de los montes Preseli, en Gales. La distancia es enorme, las dificultades para transportarlas serían considerables aun a día de hoy. Lo más increíble de esta cuestión es lo siguiente: si trazamos una línea de Stonehenge a Preseli, y consideramos que es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, podemos entonces encontrar la otra punta de dicho triángulo: cae exactamente en la isla de Lundy. En concreto, en una colina al norte de Pondsbury, donde hay… un pequeño círculo de piedras. El nombre antiguo de la isla es Ynys Elen: Elen quiere decir “codo”: ¿el ángulo recto del triángulo?

El triángulo tiene unas dimensiones muy precisas: 13:12:5. Es uno de los llamados “triángulos pitagóricos” porque, siendo un triángulo rectángulo, sus lados son números enteros.

De modo que la localización de Stonehenge parece fijada, no sólo por el monumento en sí mismo, sino por la posición respecto de su cantera. El mismo triángulo, de proporciones 13:12:5, aparece también inscrito en el círculo exterior, del cual hoy sólo quedan vestigios. En la siguiente fotografía, aparece doblemente dibujado, en un rectángulo:

Así, queda claro que quienes construyeron Stonehenge conocían, al menos, el teorema de Pitágoras (que aún no había nacido).  ¿Qué más sabían? Pues también podemos afirmar que sabían cuadrar el círculo.

La cuadratura del círculo es uno de los enigmas matemáticos más estudiados. ¿Es posible construir un cuadrado cuyos lados, sumados, den lo mismo que una circunferencia? Eso querría decir que la circunferencia y el cuadrado tendrían el mismo perímetro.

La respuesta, después de largos siglos, se hizo evidente: no. No se puede cuadrar el círculo. El círculo tiene que ver con el número Uno, y con la proporción Π, que rige la relación entre la circunferencia y su diámetro, y que es un número irracional, de infinitos decimales no periódicos. Por eso no se puede cuadrar un círculo.

Pero eso no quiere decir que no podamos intentarlo. De hecho, muchas iglesias y templos incorporan la cuadratura del círculo en su planta. Es una forma de decir: “el cielo en la tierra”; el Uno (la redonda) en el mundo, la materia,  el Cuatro (el cuadrado). Stonehenge guarda esta proporción: si inscribimos el círculo interior en un cuadrado, ese cuadrado equivale a la cuadratura del círculo exterior. 

Aprende a cuadrar el círculo. No podrás hacerlo de forma exacta, pero puedes encontrar métodos aproximados más que aceptables. El cielo en la tierra, hasta donde se pueda…

Éstos son unos pocos ejemplos de los conocimientos matemáticos de quienes construyeron Stonehenge. Hay mucho más, especialmente en torno a la astronomía. ¡Seguramente hay un montón de cosas que no sabemos aún!

¿Del Uno al Diez, o del Uno al Doce? Tablero de multiplicar y bases

El sistema decimal es el más usado y conocido en España hoy día. Eso no quiere decir que sea el único, ni mucho menos el más antiguo. El metro se inventó después de la Revolución Francesa, a finales del siglo XVIII. Hasta entonces, existía una gran diversidad de sistemas de medida, que variaban de región a región.

Es cierto que tenemos diez dedos en las manos, y eso facilita el contar de diez en diez. Pero la base 10 no es la única: los ordenadores funcionan en base 2, y parece que les va bien. Hay sistemas métricos que funcionan en base 12; nosotros aún contamos los huevos por docenas.

El 12 es divisible entre 2, 3, 4 y 6 (además de entre 1 y 12), mientras que el 10 se puede repartir solamente entre 2 y entre 5 (además de entre 1 y entre 10). Lo que esto indica es que el 12 es mucho más fácil de dividir y subdividir que el 10. Si tenemos un cuadrado de lado=12, fácilmente encontraremos su cuarta parte, su tercio, su mitad, su sexta parte. Con un cuadrado de lado=10, podemos encontrar la mitad, pero si queremos el cuarto o el tercio hemos de empezar a trabajar con, al menos, dos decimales.

Usando un tablero redondo, se puede ver esto gráficamente. Este tablero sirve para aprender de forma visual las tablas de multiplicar. Dado que funcionamos en base 10, tiene 10 números, del 0 al 9.

Esto es la representación de la tabla del uno: 1 vez 1 es 1, 2 veces 1 es 2… el cordelito va de resultado a resultado, del 1 al 2, del 2 al 3, hasta llegar de nuevo al 0, que esta vez representa un 10. Si le damos la vuelta y lo miramos como una división, vemos que 10 entre 1 da 10, y eso es lo que hemos dibujado, un decágono.

Curioso: sirve también para la tabla del nueve, lo que ocurre es que entonces empezamos por el 9 y vamos hacia atrás: 9, 8 (18), 7 (27), 6 (36)… Pero queda el mismo dibujo.

Éste que viene ahora es la tabla del dos: 2, 4, 6, 8, 0 (10) y otra vez 2 (12, 4 (14), etc. Sólo pasamos por los pares. Si lo pensamos como una división, vemos que 10 entre 2 da 5, y eso es lo que nos ha quedado: un pentágono.

El ocho se comporta igual, pero en sentido contrario.

La siguiente foto es la representación de la tabla del tres: 3, 6, 9, 2 (12), 5 (15), 8 (18), 1 (21), 4 (24), 7 (27) y 0 (30). Pasa por todos los números, dibujando una estrella decagonal. Como 10 no es divisible entre 3, no encontramos una forma “entera” hasta que llegamos al 30.

El 7 hace lo mismo pero en orden inverso. 

Ahora viene la tabla del cuatro: 4, 8, 2 (12), 6 (16), 0 (20), y otra vez 4 (24), 8 (28)… Pasa solamente por los pares, dibujando una estrella pentagonal. Como 10 no es divisible entre 4, no nos sale una forma “entera” hasta que llegamos al 20: 2 veces 10, y 5 veces 4.

El 6 hace lo mismo, empezando por el otro lado.

Y entonces, ¿qué pasa con el 5, con la tabla del cinco?

Imagina cómo queda el tablero con el cinco.

Si representamos la tabla del 10, nos quedará un punto grande en el 0, que querrá decir que vamos de 10 a 20, a 30, a 40… no nos movemos del 0.

Así pues, ésta es la base 10. Hay dos posibilidades (sin contar ni el 1, ni el 10) de que el tablero nos muestre una forma no estrellada, rodando de menor a mayor, que encaje en el 10. Sólo dos maneras.

Ahora vamos a pensar en la base 12. Se puede representar fácilmente sobre un reloj de esfera, con las horas del 1 al 12. ¿Cuántas formas no estrelladas y que rueden en sentido ascendente obtendremos?

El 1, que forma un dodecágono (como el 11).

El 2, que forma un hexágono (igual que el 10).

El 3, que forma un cuadrado (como el 9).

El 4, que forma un triángulo (como el 8).

El 5, que no encaja exactamente (como el 7) y da una estrella de 12 puntas.

El 6, que dibuja un segmento entre 12 y 6.

El 12 vuelve sobre sí mismo una y otra vez, creando un punto.

Dibuja un reloj con 12 horas en su esfera, y traza las líneas, notando lo que implica la base 12, la abundancia de subdivisiones exactas que posee.

Entonces, ¿qué ventajas tiene usar una base, u otra? ¿Qué inconvenientes? Dependerá de lo que queramos contar. La base 12 se basa en el pie y en la pulgada, que miden la longitud a escala humana.

12 pulgadas son 1 pie.

3 pies son 1 yarda.

1760 yardas son 1 milla.

5280 pies son 1 milla.

Ahora, miremos si estas medidas sirven para cuerpos enormes, como la Tierra y la Luna:

Se dice que el radio de la Tierra son 3.960 millas. Son precisamente 11 veces 360 millas.

Se dice que el radio de la Luna son 1.080 millas. Son 3 veces 360 millas.

Parecería que la base 12 es apropiada, quizá más que la decimal, para medir cuerpos celestes. Hay muchos más ejemplos y, si investigáis, veréis que hay números que se repiten a menudo. Sin despreciar el sistema decimal, podemos abrirnos a las posibilidades del doce.

El Seis, el Doce y el círculo

El Seis y el círculo tienen mucho que ver. Si queremos dibujar un hexágono dentro de un círculo, no necesitaremos hacer demasiados cálculos: ¡el radio del círculo es igual al lado del hexágono!

 Esto implica que el Seis y el Uno están estrechamente unidos. Si queremos acercarnos lo más posible al círculo, usando rectas, nuestro número de elección será siempre el seis; o un múltiplo del seis, como el doce o el treinta y seis.

El hexágono se puede usar para “embaldosar” el plano de forma muy eficiente. Por eso los vendedores de fruta disponen las manzanas, peras, etc como si estuviesen dentro de un embaldosado hexagonal.

De hecho, caben más si se disponen “hexagonalmente”, en la misma caja, que así, en una cuadrícula:

El Seis es un número funcional y estructural. Participa de la fuerza del Tres, ya que un hexágono son seis triángulos:

Además, le agrega un componente de orden, de estructuración armónica.

Eso lo debían saber las abejas cuando diseñaron sus colmenas. La solución hexagonal es la que permite almacenar más miel usando menos cera, y aprovechando todo el espacio disponible.

Si queremos coser un paraguas o paracaídas, lo mejor será usar seis o doce varillas. Si queremos crear una rueda de carro o bicicleta, es buena idea que tenga doce, veinticuatro (12x2) o treinta y seis (12x3) radios; así será más aerodinámica y fuerte. 

Coge unas cuantas monedas iguales y comprueba cómo, si pones una en medio, alrededor caben exactamente… ¿cuántas?

El Seis está muy relacionado con el Tres, como hemos visto; también es pariente cercano de otro número: el Doce.

El Doce rebasa los límites del número tal y como lo habíamos visto hasta ahora, al ser mayor que 9 y poseer, por tanto, dos cifras. De todas formas, dada su relación con el Doce, podemos mirar ahora al número Doce y darnos cuenta de que hay, o hubieron:

-12 constelaciones zodiacales,

-12 meses en el año,

-12 apóstoles,

-12 tribus de Israel,

-12 horas en el reloj,

-12 trabajos de Hércules...

Puedes investigar la correspondencia entre los doce trabajos de Hércules y el desarrollo de un ser humano.

El primer trabajo consiste en reducir, sujetar, aquietar a las violentas yeguas de Diógenes, que representan a las partes de uno mismo que deben estar bajo el control de algo “superior”, porque de lo contrario pueden hacer daño. Hércules lo consigue, pero comete el error de encomendarle el final de la tarea a Abderis, que no es tan fuerte como él. Tragedia: Abderis acaba muerto. Moraleja: se necesita fuerza pero también perseverancia para lidiar con lo que el Yijing llamaría “los inferiores”, y nadie lo puede hacer por ti; si tus facultades superiores descuidan la tarea, estás perdido.

El segundo trabajo es la captura del toro de Creta…

La dimensión fractal

¿Qué es un fractal? Buena pregunta.

Todavía no lo sabemos del todo. O podríamos decir que no existe una definición única de fractal, sino una nube de características que pueden, o no, aplicarse a cada fractal que encontremos, pero que más o menos definen el concepto.

Esta imposibilidad de definición precisa, esta naturaleza caleidoscópica y difícilmente apresable de lo que se puede llamar “fractal”, es muy reveladora en sí misma. Después de siglos y siglos de matemáticas rectas y claras, parece que los números han empezado a enseñarnos sus ambigüedades, sus contradicciones. Como cuando nos parece que conocemos a alguien, pero de repente hace algo que jamás hubiéramos pensado que haría, y nos preguntamos: ¿quién es, en verdad: el de antes, o quien acabo de ver ahora? O ¿podrían ser las dos cosas a la vez? Durante unos cuantos años, lo que hoy conocemos por fractal fue desdeñado como una irregularidad no representativa: se les llamó “galería de monstruos”. Esto nos da una idea del esfuerzo que ha supuesto integrarlos en nuestro paradigma.

Vamos a ver cómo se dibujan. Empezamos con un fractal sencillo: cogemos un triángulo y le dibujamos un “pico”, como una punta, en cada uno de los lados. Y otra vez, y otra, y otra. Cada vez tenemos más puntas sobresaliendo, cada vez más pequeñitas. Este fractal se llama “el copo de nieve de Koch”.

Parece simple, hasta que nos damos cuenta de que encierra paradojas importantes:

-su área, ¿es finita? Seguro que sí. Porque si le dibujamos una circunferencia alrededor, nos damos cuenta de que nunca saldrá de ella. Cabe en una redonda: eso es seguro.

-su perímetro, ¿es finito? Siempre se puede ir más allá, siempre se pueden dibujar más puntas en los lados que van saliendo. El límite lo pone el papel, el lápiz, la materia… pero suponiendo un “zoom” cada vez mayor, en teoría se puede seguir hasta que uno quiera.

Eso supone una forma de área finita y perímetro, en potencia, infinito. Cuesta de imaginar, pero es justamente lo que tenemos delante. Miradlo aquí: http://es.wikipedia.org/wiki/Copo_de_nieve_de_Koch

(Si por casualidad pensáis que esto está  muy bien pero no deja de ser pura teoría, podéis reflexionar sobre “el enigma de la costa de Gran Bretaña”: ¿cuántos kilómetros tiene la costa de Gran Bretaña? Cada enciclopedia dice una cosa. Porque, si vamos al detalle, si hacemos un “zoom” cada vez mayor, la costa de cualquier isla acaba siendo como el copo de nieve de Koch, infinitamente larga…)

Por otro lado, dado que el copo de nieve de Koch es una forma plana, podemos suponer que tiene dos dimensiones… ¿o no? En realidad, el centro de la figura no lo tocamos, es como si no estuviera. Y el perímetro no deja de ser una línea, que se va alargando, alargando… entonces podemos suponer que es un objeto de una dimensión, como una línea larguísima… ¿o no?

Pues no. Se ha visto que hay otras formas de calcular la dimensión de un objeto, y que los fractales, mirados de esas maneras, tienen como dimensión una cifra no necesariamente entera. Puede ser una fracción: el copo de nieve de Koch tiene como dimensión fractal 1,26086… Eso también supone una paradoja para la mente. (Si queréis mirarlo en detalle, id a:

http://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:Fractales_por_dimensi%C3%B3n_de_Hausdorff )

Habiendo visto un fractal, podemos enumerar algunas de sus características:

-se genera a sí mismo, repitiendo una misma operación una vez tras otra;

-es igual a diferentes escalas, lo mismo "en pequeño" que visto desde más lejos, "en grande";

-es infinito, puede expandirse todo lo que queramos;

-su dimensión no tiene porqué ser 1, 2 o 3; de hecho, suele no serlo.

La belleza de los fractales, parecida a la de la proporción áurea, es a menudo orgánica, exuberante, impredecible, armoniosa y un reto para nuestro pensamiento, que no puede englobarla de manera simple (como englobaría, pongamos, un cuadrado).

Los fractales aparecen en multitud de formas naturales: las líneas de las costas, las formas de las nubes o los perfiles de cadenas montañosas; estructuras en forma de árbol, como las ramificaciones de los bronquios, del sistema circulatorio, de los ríos y sus afluentes… aquí vemos las vellosidades de nuestro intestino:

Cualquier lugar de unión, de transmisión, puede beneficiarse de una estructura fractal, que diversifica su superficie de forma sorprendente, para procurarle un mayor y más eficiente intercambio, mayor absorción, más comunicación. Se ha visto que disponer antenas de comunicaciones en forma de fractales potencia su efectividad.

Veamos otros ejemplos de fractales. Este es el llamado "polvo de Cantor", una línea que se disgrega hasta el infinito.

Un fractal en tres dimensiones que podemos encontrar en la verdulería:

Dibujar fractales puede convertirse en una tarea complicada. Por eso, se han desarrollado a la par que los ordenadores, desde mediados del siglo XX hasta hoy. Está claro que existen desde que existen las nubes, pero que hemos necesitado herramientas tecnológicamente avanzadas para comprenderlos y llegar a dibujarlos. A partir de fórmulas muy simples, pero introduciéndoles números complejos, y usando herramientas de trabajo potentes, se obtienen formas sorprendentes.

Busca “conjunto de Mandelbrot” en internet, y sumérgete en la grandiosidad de su dimensión. Cada parte del conjunto es infinita, y por lo tanto hay lugares de este conjunto, que ha sido llamado “fractal de fractales”, que nadie ha explorado aún…

El Cinco y la divina proporción

El Cinco, el pentágono, y la estrella pentagonal están íntimamente relacionados con otro concepto: la divina proporción o proporción áurea.

¿Qué es la proporción áurea? Antes que nada, ¿qué es una proporción? Es una relación. Se dice que una persona, edificación u obra de arte está bien proporcionada, cuando sus partes encajan bien unas con otras, cuando forman una unidad que nos parece armoniosa.

Entonces, resulta que una proporción es la forma en que alguna cosa está en relación con otra. Matemáticamente, esto puede expresarse mediante la división. Por ejemplo, si vamos a 60 km/h, quiere decir que hay dos conceptos que van relacionados: 60 km y 1 hora.

La divina proporción, o proporción áurea, es una relación muy especial que puede darse entre números, entre partes de realidades. Está muy presente en la naturaleza, y también se puede expresar matemáticamente. Para hacerlo, tendremos que mirar una hilera de números conocidos como la serie de Fibonacci. Es una serie que empieza de la nada pero llega al infinito (es decir, crece tanto como nosotros queramos) muy rápidamente:

0-1-1-2-3-5-8-13-21-34-55-89-144-233-377…

¿Cómo saber qué número sigue? Hay que sumar los dos anteriores. Así, 0 y 1 es 1, 1 y 1 son 2, 2 y 1 son 3, y así sucesivamente.

Vemos cómo, con rapidez, las cifras se hacen enormes. Vamos a ver qué pasa con su proporción, con la relación entre unas y otras. Para eso, dividimos cada número de la serie entre el anterior:

1/0 no se puede, no sabemos lo que es

1/1 da 1

2/1 da 2

3/2 da 1,5

5/3 da 1,6666666666…

8/5 da 1,6

13/ 8 da 1,625

21/13 da 1,615384615…

34/21 da 1,619047619…

55/34 da 1,617647058…

89/55 da 1,618618618…

144/89 da 1,617977528…

233/144 da 1,61805555…

377/233 da 1,618025751…

Se puede seguir para siempre, y la cifra obtenida en la división se va haciendo cada vez más “precisa”, se van “concretando” cada vez más decimales. Sin embargo, dado que la serie es infinita, ese número también lo es. Se le llama el número áureo, o Φ, que se pronuncia “fi”.

Lo curioso es que se puede coger cualquier pareja de números enteros, la que queramos, y acaba pasando lo mismo. Imaginemos que cogemos el 4 y el 789, nos queda una serie que, aunque no es la de Fibonacci, se acaba comportando como si lo fuera:

4-789-793-1582-2375-3957…

789/4 da 197,25

793/789 da 1,005069708…

1582/793 da 1,994955863…

2375/1582 da 1,501264222…

3957/2375 da 1,666105263…

La división se acaba aproximando, aunque más lentamente, al mismo número áureo de la serie de Fibonacci: Φ.

Entonces, ¿qué tiene esta proporción de tan especial, que hace que esté por todas partes? Para empezar, se suele explicar que es fácil hallarla en la naturaleza, en la disposición de las ramas de los árboles, en el crecimiento de las poblaciones de animales, en la forma de las conchas de los caracoles… infinitud de otros detalles del mundo natural  se pueden entender según esta proporción.

Por ejemplo, la relación entre nuestra última falange y todo el dedo da Φ. También da Φ si divides la longitud del antebrazo entre la de la mano. En el cuerpo humano hay muchos ejemplos de proporción áurea.

Si dividimos la longitud de un huevo entre su anchura, da Φ.

Las espirales que hay en los girasoles, o en las piñas: si contamos las espirales que giran hacia un lado, y las dividimos entre el número de espirales que giran hacia el lado contrario, da Φ. Suelen ser números de la serie de Fibonacci: 89 espirales hacia un lado y 144 hacia el otro, por ejemplo.

Si representamos a Φ en forma de espiral, disponiendo una serie de cuadraditos de lado 1-1-2-3-5-8-13... etc, obtenemos una forma interesante.

 

Esta espiral nos recuerda a ciertos caracoles, o al cuerno de una cabra. Mantiene un ángulo constante en su giro, de manera que su centro de gravedad nunca varía: se puede partir un trozo del cuerno, y el equilibrio de la cabra no se ve afectado.

El Cinco tiene esta cualidad exuberante, de una cierta dispersión, que hace que se mueva fácilmente hacia la espiral, al tiempo que reacciona “mal” en el plano de dos dimensiones: no podemos embaldosar un suelo con pentágonos, nos quedan agujeritos irregulares por llenar. Al contrario que el triángulo, el cuadrado y el hexágono, el Cinco no cubre una superficie plana; a cambio, despliega espirales que inundan el espacio.

Hemos dicho que la proporción áurea se relaciona con el Cinco, con el pentágono, y que está presente en la estrella pentagonal. Recordemos que el quinto elemento, el éter, tiene que ver con el dodecaedro, ese sólido platónico que tiene precisamente las caras pentagonales, y que representa el fluir de la vida, la fuerza que anima a los cuatro elementos básicos (agua, fuego, tierra, aire).  Pues mirad cómo aparece Φ en estas formas, relacionadas con el Cinco:

 En esta estrella pentagonal, el segmento rojo dividido entre el azul da lo mismo que el segmento azul dividido entre el verde, o que el verde dividido entre el violeta. Estas relaciones son la esencia de la proporción áurea: que el todo sea a la parte grande, lo mismo que la parte grande a la pequeña.

La proporción áurea se puede seguir estudiando… hasta el infinito:

-Matemáticamente, la serie de Fibonacci posee una lógica interna que nos permite encontrar muchísimas relaciones entre sus términos (más allá de que los dos anteriores, sumados, dan el posterior).

-En la naturaleza, encontraremos infinitos ejemplos de su belleza y armonía, en esta página sólo aparecen unos pocos.

-Simbólicamente, podemos seguir estudiando la forma del pentágono, y la estrella pentagonal, que han sido y son usados ampliamente, desde la magia ceremonial hasta en multitud de banderas.

Una forma muy bella de comprender más la divina proporción es mirar espirales. Contempla la espiral que forman las hojas de una planta vista desde arriba, y cómo se organizan para tomar todas la luz del sol.

Enciende un incienso y mira cómo el humo sale en espiral, topando con la resistencia del aire, perdiendo temperatura y, finalmente, dispersándose.

Busca un capitel jónico, con sus volutas, y prueba a dibujar esa espiral, notando el recorrido de la energía.