La dimensión fractal

¿Qué es un fractal? Buena pregunta.

Todavía no lo sabemos del todo. O podríamos decir que no existe una definición única de fractal, sino una nube de características que pueden, o no, aplicarse a cada fractal que encontremos, pero que más o menos definen el concepto.

Esta imposibilidad de definición precisa, esta naturaleza caleidoscópica y difícilmente apresable de lo que se puede llamar “fractal”, es muy reveladora en sí misma. Después de siglos y siglos de matemáticas rectas y claras, parece que los números han empezado a enseñarnos sus ambigüedades, sus contradicciones. Como cuando nos parece que conocemos a alguien, pero de repente hace algo que jamás hubiéramos pensado que haría, y nos preguntamos: ¿quién es, en verdad: el de antes, o quien acabo de ver ahora? O ¿podrían ser las dos cosas a la vez? Durante unos cuantos años, lo que hoy conocemos por fractal fue desdeñado como una irregularidad no representativa: se les llamó “galería de monstruos”. Esto nos da una idea del esfuerzo que ha supuesto integrarlos en nuestro paradigma.

Vamos a ver cómo se dibujan. Empezamos con un fractal sencillo: cogemos un triángulo y le dibujamos un “pico”, como una punta, en cada uno de los lados. Y otra vez, y otra, y otra. Cada vez tenemos más puntas sobresaliendo, cada vez más pequeñitas. Este fractal se llama “el copo de nieve de Koch”.

Parece simple, hasta que nos damos cuenta de que encierra paradojas importantes:

-su área, ¿es finita? Seguro que sí. Porque si le dibujamos una circunferencia alrededor, nos damos cuenta de que nunca saldrá de ella. Cabe en una redonda: eso es seguro.

-su perímetro, ¿es finito? Siempre se puede ir más allá, siempre se pueden dibujar más puntas en los lados que van saliendo. El límite lo pone el papel, el lápiz, la materia… pero suponiendo un “zoom” cada vez mayor, en teoría se puede seguir hasta que uno quiera.

Eso supone una forma de área finita y perímetro, en potencia, infinito. Cuesta de imaginar, pero es justamente lo que tenemos delante. Miradlo aquí: http://es.wikipedia.org/wiki/Copo_de_nieve_de_Koch

(Si por casualidad pensáis que esto está  muy bien pero no deja de ser pura teoría, podéis reflexionar sobre “el enigma de la costa de Gran Bretaña”: ¿cuántos kilómetros tiene la costa de Gran Bretaña? Cada enciclopedia dice una cosa. Porque, si vamos al detalle, si hacemos un “zoom” cada vez mayor, la costa de cualquier isla acaba siendo como el copo de nieve de Koch, infinitamente larga…)

Por otro lado, dado que el copo de nieve de Koch es una forma plana, podemos suponer que tiene dos dimensiones… ¿o no? En realidad, el centro de la figura no lo tocamos, es como si no estuviera. Y el perímetro no deja de ser una línea, que se va alargando, alargando… entonces podemos suponer que es un objeto de una dimensión, como una línea larguísima… ¿o no?

Pues no. Se ha visto que hay otras formas de calcular la dimensión de un objeto, y que los fractales, mirados de esas maneras, tienen como dimensión una cifra no necesariamente entera. Puede ser una fracción: el copo de nieve de Koch tiene como dimensión fractal 1,26086… Eso también supone una paradoja para la mente. (Si queréis mirarlo en detalle, id a:

http://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:Fractales_por_dimensi%C3%B3n_de_Hausdorff )

Habiendo visto un fractal, podemos enumerar algunas de sus características:

-se genera a sí mismo, repitiendo una misma operación una vez tras otra;

-es igual a diferentes escalas, lo mismo "en pequeño" que visto desde más lejos, "en grande";

-es infinito, puede expandirse todo lo que queramos;

-su dimensión no tiene porqué ser 1, 2 o 3; de hecho, suele no serlo.

La belleza de los fractales, parecida a la de la proporción áurea, es a menudo orgánica, exuberante, impredecible, armoniosa y un reto para nuestro pensamiento, que no puede englobarla de manera simple (como englobaría, pongamos, un cuadrado).

Los fractales aparecen en multitud de formas naturales: las líneas de las costas, las formas de las nubes o los perfiles de cadenas montañosas; estructuras en forma de árbol, como las ramificaciones de los bronquios, del sistema circulatorio, de los ríos y sus afluentes… aquí vemos las vellosidades de nuestro intestino:

Cualquier lugar de unión, de transmisión, puede beneficiarse de una estructura fractal, que diversifica su superficie de forma sorprendente, para procurarle un mayor y más eficiente intercambio, mayor absorción, más comunicación. Se ha visto que disponer antenas de comunicaciones en forma de fractales potencia su efectividad.

Veamos otros ejemplos de fractales. Este es el llamado "polvo de Cantor", una línea que se disgrega hasta el infinito.

Un fractal en tres dimensiones que podemos encontrar en la verdulería:

Dibujar fractales puede convertirse en una tarea complicada. Por eso, se han desarrollado a la par que los ordenadores, desde mediados del siglo XX hasta hoy. Está claro que existen desde que existen las nubes, pero que hemos necesitado herramientas tecnológicamente avanzadas para comprenderlos y llegar a dibujarlos. A partir de fórmulas muy simples, pero introduciéndoles números complejos, y usando herramientas de trabajo potentes, se obtienen formas sorprendentes.

Busca “conjunto de Mandelbrot” en internet, y sumérgete en la grandiosidad de su dimensión. Cada parte del conjunto es infinita, y por lo tanto hay lugares de este conjunto, que ha sido llamado “fractal de fractales”, que nadie ha explorado aún…