El templo

El templo es el cielo en la tierra. Es traer lo de arriba, abajo, y mostrar cómo lo de abajo crece... hacia arriba.

Las catedrales lo hacen. Los dólmenes lo hacen. En última instancia, cada cual hace justamente eso, de vínculo entre cielo y tierra.

En un curso con Juan Sáez, aprendí varias formas que suelen aparecer en un templo. No van cada una por su lado, sino que se interrelacionan, entre sí y con el lugar.

Dependiendo de la latitud, dependiendo de la cantidad de Sol y luz recibida, el dibujo cambia.

Esta manera de reflejar la luz en una geometría se puede usar si, por ejemplo, queremos traer a Barcelona la energía de otro lugar: Jerusalén, o Glastonbury, o Chartres... En ese caso, usaríamos los datos de luz del lugar escogido. Suponiendo que conociésemos ese lugar, ver el esquema de la latitud correspondiente nos recordaría sus características, nos volvería a dar la referencia del mismo.

Hace un tiempo, dibujé el esquema, tomando las latitudes de lugares significativos para mi familia. Y hace poco lo he trazado de nuevo, esta vez en una sábana, para poderlo notar a lo grande, y en grupo. Si lo tengo en un papel, puedo notar cada elemento apoyando un lápiz en los puntos significativos del esquema. Si está dibujado en el suelo, puedo ponerme de pie encima.

Cuando noto, enfoco la atención al elemento escogido: por ejemplo, el cuadrado verde grande (se le llama "cuadrado madre") cruza una variedad de círculos, pero eso no importa. Mientras centre mi atención en el cuadrado madre, lo percibiré en relación a mí, y dentro del esquema, sin que los demás elementos interfieran.

La tabla periódica

La tabla periódica de los elementos son esos recuadritos que se aprenden al estudiar química.

Es una manera de representar toda la materia conocida. Toda la sustancia que podamos encontrarnos en el mundo nos dicen que está ahí, en esos rectangulitos. Lo que ocurre es que, al estar puesta así, en filas y columnas, nos representa la realidad de una forma un poco... cuadriculada.

La tabla ya apareció en el blog al hablar del Ocho, porque cuando son ocho los electrones de las capas superiores de un átomo, éste es tremendamente estable y pertenece a la columna VIII, la de los gases nobles.

En la tabla periódica, cada átomo tiene un protón más que el anterior. Ese protón marca la diferencia entre el hidrógeno y el helio, entre el cloro y el argón.

Entonces, para representar esa progresión, ¿no sería mejor una espiral?

Podéis poner manos a la obra, os quedará algo así.

¿Cuál será la diferencia entre una espiral, de construcción casera, y unos cuantos rectángulos dibujados por un químico que no conozco? Pues la misma que hacer un bizcocho en el horno de casa, o comprar una tarta en la pastelería: hacer algo con las propias manos informa a las manos, a la cabeza, y al corazón… Por eso mi insistencia en que hay que coger el compás, y no sólo el ordenador, para entrar en la geometría.

Recomiendo el libro de Theodore Gray  The Elements: A Visual Exploration of Every Known Atom in the Universe, un compendio de curiosidades y fotografías preciosas. También lo encontraréis traducido al castellano.

Dibujando estrellas

Hace poco, con la excusa de la Navidad, hemos dibujado estrellas.

La estrella más fácil de hacer, con diferencia, es la de seis puntas. En realidad no es del todo una estrella, sino más bien dos triángulos entrelazados. No se puede dibujar del tirón, sin separar el lápiz del papel; por eso, es uno de los llamados "falsos estrellados".

Para dibujarla, basta con no tocar el radio del compás.

Comparad la sensación de la estrella de seis puntas con la de cinco, que viene a continuación.

La estrella pentagonal no es nada obvia. De hecho, fue un secreto durante siglos. Para dibujarla, partimos de la vesica piscis.

Se puede dibujar fácilmente una estrella de diez puntas a partir de una de cinco. De hecho, hay tres estrellas decagonales posibles, dos falsas y una verdadera.

Comparando la estrella de seis y la de cinco puntas, la estrella hexagonal es muy equilibrada, mucho más estática que la pentagonal. Por eso, en la mayoría de banderas usan la estrella de cinco puntas, que da la impresión de un mayor dinamismo y se asemeja al hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci, o al de Cornelius Agrippa:

La estrella decagonal es redonda, completa. También guarda algo del carácter dinámico del Cinco. Pero también remite al Uno, porque no hay ningún polígono de un lado (salvo, quizá, el círculo, que también tendría infinitos lados). El decágono sería, por tanto, el primer polígono directamente relacionado con el Uno. De ahí su sensación de movimiento y redondez.

En otra entrada explico la actividad completa, tal como se realizó.

Aprender matemáticas

Últimamente he podido leer varios libros de texto que enseñaban matemáticas.

Me he quedado un poco desencantada. ¿Dónde están la magia, la emoción, la intriga, el descubrimiento, esas epifanías cuando algo encaja? No las he encontrado y me extraña, porque siempre que me pongo a dibujar-contar-resolver suceden cosas maravillosas.

En esos textos no sucedían maravillas, todo estaba resuelto de antemano, todo estaba cocido...

¡El mundo es un misterio! ¡El universo es milagroso! Las personas que se han dedicado a las matemáticas lo saben, saben que resolver una milésima parte del misterio es como encontrar aquella pieza que faltaba, que ni siquiera era seguro que existiese...

Ojalá esa maravilla se pudiera plasmar en los libros. Ojalá leer mates fuese como leer la mejor novela de intriga.

Un enlace que habla de esto mismo: http://dmle.cindoc.csic.es/pdf/GACETARSME_2008_11_4_07.pdf

Anudar el Uno

Imagina una línea curva, recta, redonda, puntiaguda, pero todo el rato la misma, la misma línea. Imagina que vuelve a su origen, de manera que podría ser una circunferencia... si se pudiese desenrollar todo el lío.

Si puedes imaginar esa línea, puedes también representarla, con una cuerda. No vas a tener ningún problema, mientras sea una sola línea y esté unida por el principio-fin. Solamente se necesita una simple norma. En cada cruce, hay que recordar: una vez por encima, otra vez por debajo. Y ya está.

Este dibujo lo ilustra:

¡Los patrones celtas más enrevesados se simplifican considerablemente!

Con dos o más líneas... también funciona. Aquí Victoria Hart (ViHart) lo explica muy bien:

Recomiendo encarecidamente sus vídeos. Habla en inglés a la velocidad de la luz, pero se entienden visualmente.

Estos "doodles" (garabatos) ayudan mucho a entender el Uno y la circunferencia.

La Nueva Jerusalén

Otro esquema que he dibujado últimamente es éste:

Se llama "el Círculo Cosmológico", y también "la Nueva Jerusalén". La totalidad del diseño es el círculo; la Nueva Jerusalén es la parte interior. Lo he encontrado en un cuaderno de ejercicios de Michael S. Schneider (thank you, Michael!), donde enseña a dibujarlo paso a paso. 

Son muchos pasos. Tantos, que el esquema terminado no puede jamás mostrarlos todos, no veríamos ninguno y sólo acabaríamos mareados, borrachos de tanta línea.

Así pues, se impone una selección de lo que se elige mostrar en el diseño terminado, y se descartan las acciones, los trazos que, si bien están ahí, no vamos a resaltar.

Esa es la característica más interesante de este diseño, el hecho de que se adapta a la circunstancia del momento de forma clara y total. Si lo dibujáis, veréis que hay lugares por donde pasáis de puntillas, y otros que vais a marcar con rotulador grueso.

Por ejemplo, en esta nueva Jerusalén, está muy señalada la noción de ciclo. La cuadratura del círculo y las ocho partes coloreadas la remiten al cuatro, a la Tierra. Las doce lunas y el veintiocho aluden al ciclo solar y lunar. Al final, es como una brújula, con las cuatro direcciones bien marcadas...

Por cierto, ¿dónde pondríais el norte?

Schneider dice que en este esquema se muestra el matrimonio del Siete y el Doce. El Siete como lo invisible y el Doce como lo manifiesto. Realidades opuestas, que se muestran juntas. 

Podéis verle, y escucharle, en una larga entrevista que le hace Geoff Fitzpatrick en Sacred Geometry Academy. Es una delicia. (Id al final de la página, donde pone "Free Courses", y "Sacred Geometry Summer Solstice Summit 2022"; y apuntaos, para acceder a la entrevista.)

Si os animáis a dibujar la nueva Jerusalén, el único lugar donde la he encontrado es en el cuaderno de Schneider, Constructing the Cosmological Circle, disponible en su web. Seguramente está en más sitios. Que dibujéis a gusto.

Otro Sri yantra

Durante el solsticio de verano, pinté otro Sri yantra. Éste:

Aunque parezca más o menos regular, no lo es en absoluto. Está lleno de errores e imprecisiones. Pero ¿sabéis que? No importa.

Me sorprende que la geometría se suela pintar, pero no dibujar. Proliferan los libros de mandalas, preciosos. Es bonito colorear. Lo que quiero decir es que no se puede comparar el gesto del coloreo con el gesto del trazo del esquema.

Claro, si el trazo lo hace uno mismo, no queda igual que si se coge uno creado por un profesional, que siempre está perfecto, simétrico... pero es que ¡da igual! Lo importante en esto de dibujar mandalas, o yantras, o la geometría que sea, no es el resultado. Me suele gustar que me queden las cosas bien, no me considero una chapuzas, y aun así lo digo y lo repito: cómo quede un yantra, es lo de menos.

Un yantra es un proceso. Sobre todo, es el proceso de trazarlo de la nada. Ese proceso revela una serie de procesos paralelos, una serie de comprensiones, que se dan en quien lo dibuja. No se saca nada a la fuerza, sale lo que debe salir en cada momento, para cada cual.

Como un parto; es exactamente como un parto. Nunca le has visto la cara a tu bebé, aunque le has llevado dentro durante muchos días... Igualmente, un yantra bien dibujado tiene un componente de sorpresa. No sabes cómo te quedará. Sabes cómo te está quedando, nada más. Con eso es suficiente.

Porque el cómo y el qué van juntos, en geometría. Realmente, es difícil de explicar y fácil de sentir. El gesto de trazar un círculo, una recta, activa en nosotros una información que va más allá de lo visual y de lo táctil. Es una información de belleza y verdad. Quizá suene cursi pero es así. De ahí el éxito de los libros de mandalas.

En concreto, dibujando este Sri yantra, me emocionaron especialmente los dos triángulos mayores. No había reparado tanto en ellos las otras veces. En esta ocasión me parecieron el colmo de la generosidad. Cómo un triángulo puede ser generoso, lo ignoro, tendréis que probarlo vosotros, para ver qué os dice...

Cada vez es distinto, el Sri. Creo que es imposible cansarse de él. Es un símbolo de la globalidad y, en consecuencia, se dibuja como un todo: te equivocas en una línea y se desmonta entero. Al mismo tiempo, tiene partes. Dibujándolo se entiende algo de la relación entre el todo y las partes.

Aquí hay un enlace a una posible forma de dibujarlo. Sigo recomendándoos que lo probéis por vosotros mismos.

Grandes matemáticos desconocidos: Lobatchevski

Leyendo una historia de la matemática, he tropezado con la biografía de Nikolai Ivanovitch Lobatchevski (1792-1856). Llama la atención la apertura de miras de este singular matemático, más aún si se tiene en cuenta su carácter.

La vida de Lobatchevski podía haber sido muy distinta: su padre murió cuando él tenía siete años, la familia se mudó a Kazan (al borde de Siberia) y allí él obtuvo una beca para estudiar en el "gimnasio" (la escuela). Destacó, entró en la universidad, y allí se quedó. Fue catedrático y rector; querido y admirado; finalmente, se le apartó de los cargos importantes y se le dio un puesto honorífico y vacío. Murió ciego, habiendo escrito y dictado una nueva geometría.

La capacidad de orden y organización de Lobatchevski era tremenda. Daba clases de matemáticas, pero también de física, astronomía, topografía... Para unas obras que hubo que hacer en la universidad, aprendió arquitectura... y se acabaron los trabajos con menos dinero del previsto.

Cuando la peste llegó a Kazan, reunió a alumnos y profesores en un edificio, sellando puertas y ventanas, y manteniendo un mínimo contacto con el exterior; la mortalidad en ese grupo afortunado fue muchísimo menor que la de la población general. Lobatchevski observó, dedujo y ejecutó un plan de acción que funcionó.

En geometría, dio el paso de la geometría euclidiana a la no euclidiana. Pocos entendieron, y no fue hasta después de su muerte. Es un salto.

Euclides explicó cómo funciona el plano. En el plano, los ángulos de un triángulo suman 180º. Dos líneas paralelas no se cruzan, siguen rectas, siempre adelante, una al lado de la otra.  Y así sucesivamente: reglas que ordenan una superficie lisa. La geometría de Euclides sirve para un montón de cosas... pero no le sirve, por ejemplo, a una hormiga para caminar por encima de una naranja. 

La hormiga va por encima de un plano pero, al tratarse de una superficie curva, un triángulo dibujado en la misma tiene ángulos que suman más de 180º. Y para ir de un punto a otro del área de una esfera, la línea recta no es una opción (a no ser que quieras excavar un túnel a través de la piel y la pulpa de la naranja). Hay que seguir un cierto recorrido por la superficie.

Lobatchevski entendió esto y muchísimo más. Me lo imagino en una ciudad congelada, pasando los inviernos entre apuntes y esquemas, inventando geometrías incomprendidas. Una mente recta, doblando planos más allá de lo establecido.

Libro en español

Mi libro de cabecera durante este tiempo ha sido Constructing the Universe, de Michael S. Schneider. Fue el leerlo, y el no encontrar mucha información en español sobre el tema, lo que motivó este blog.

El otro día tuve una agradable sorpresa: un amigo me prestó La divina geometría, de Jaime Buhigas Tallón. Con un espíritu parecido al de Schneider, Buhigas explora la geometría, desde el uno en adelante. No os lo perdáis. Encontrar libros así en castellano es una buena noticia.

La referencia bibliográfica completa es:

Buhigas Tallón, Jaime: La divina geometría. Madrid: Esfera de los libros, 2008.

El Nueve, de nuevo

Por si tiene interés, he decidido incluir unas experiencias con el Nueve. Son una “unidad didáctica” (en jerga pedagógica) para comprender el Nueve… y lo que implica contar en base 10.

Cualquiera que se sepa las tablas de multiplicar, o algunas de ellas, puede hacer estos ejercicios. Son entretenidos, complacerán a los que tengan mentes "ordenadas"... y también a quienes les guste más el lado "artístico" de la geometría.

No encontraréis aquí una explicación detallada de las funciones de este número:  para eso, id a la sección del Nueve.

Se tratará de ver, a través de varios ejercicios numéricos y geométricos, cómo el Nueve constituye el límite de nuestros números y del sistema decimal. Esta cualidad de “horizonte” se puede apreciar usando la raíz digital de las tablas de multiplicar, en su aspecto numérico y geométrico;  también aparece en la estrella de nueve puntas.

Primero: APRENDER QUÉ ES LA RAÍZ DIGITAL

El hecho de que tengamos números del 1 al 9 implica que cualquier número puede ser reducido a una de estas cifras: 1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Hay dos formas de hacerlo:

-sumando las cifras de un número (puede ser sucesivas veces) hasta llegar a un número de una sola cifra: 127 sería 1+2+7=10, que sería 1+0=1. Raíz digital de 127: es 1.

-restando 9 del número que sea, tantas veces como sea necesario, hasta que quede una cifra del 1 al 9: por ejemplo, a 127 le podemos restar 9, 14 veces: es decir, 9x14= 126; 127-126=1. Raíz digital de 127: es 1, como ya sabíamos. Este método, en inglés, se llama “casting out nines”, es decir “descartando nueves”.

Puedes practicar un poco con varios números, hasta que lo tengas bien claro… hasta que vayas por la calle, y alguien te pregunte: “perdone, ¿me podría decir la raíz digital de 2.086?” y, sin dudarlo,  afirmes convincentemente: “por supuesto: es 7”.

Intenta, por ejemplo, sacar la raíz digital de: 57, 908, 4.441, 73, 7.004 y 405. Las respuestas, por si las necesitas, salen al final de la entrada.

Segundo: LAS TABLAS DE MULTIPLICAR, Y SU RAÍZ DIGITAL

Vamos a trabajar con las raíces digitales de las tablas de multiplicar. 

Aquí están los resultados de las tablas de multiplicar, puestos en forma de tabla, valga la redundancia:

1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	18	27	36	45	54	63	72	81

Si les sacamos la raíz digital, queda otra tabla muy especial. Ésta:

1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	4	6	8	1	3	5	7	9
3	6	9	3	6	9	3	6	9
4	8	3	7	2	6	1	5	9
5	1	6	2	7	3	8	4	9
6	3	9	6	3	9	6	3	9
7	5	3	1	8	6	4	2	9
8	7	6	5	4	3	2	1	9
9	9	9	9	9	9	9	9	9

Con esta tabla, mirando sus filas y columnas, empezaremos a entender  el sistema decimal “desde sus tripas”. Observemos estos patrones:

*filas y columnas son iguales: la fila 1 es igual que la columna 1, la fila 2 es igual que la columna 2, y así sucesivamente.

*fila/columna 1: son los números naturales, del 1 al 8; y el 9.

*fila/columna 2: primero los pares: 2,4,6,8 y luego los impares 1,3,5,7; y el 9, al final.

*fila/columna 3: “3,6,9” repetidos.

*fila/columna 4: 4,3,2,1 y 8,7,6,5 intercalados; y el 9, al final.

*fila/columna 5: 5,6,7,8 y 1,2,3,4 intercalados; y el 9, al final.

*fila/columna 6: “6,3,9” repetidos.

*fila/columna 7: primero los impares en orden descendente:  7,5,3,1,  y luego los pares, igualmente en orden descendente:  8,6,4,2 ; y el 9, al final.

*fila/columna 8: los números naturales del 8 al 1 en orden descendente; y el 9, al final.

*fila/columna 9: todo 9,9,9,9,9...

Tercero: DIBUJAR LAS FORMAS

Hay que disponer de un cuadrado así (con las raíces digitales de las tablas de multiplicar) para cada cifra del 1 al 9; es decir, 9 tablas. Y algunos más, para jugar con las formas. 

Aquí hay una plantilla para imprimir:

En cada cuadradito de la plantilla vamos a investigar a un número: en la primera tabla, marcaremos todos los 1.

¿Qué forma queda? ¿Es en forma de huso, como un pez sin cola?

En el segundo cuadradito de números, marcaremos todos los 2, uniéndolos.

¿Queda como un rectángulo?

En el tercer cuadrado, todos los 3.

¿Sale una cruz?

En el cuarto cuadradito, todos los 4.

 ¿Sale parecido al 1, pero más redondo?

En la quinta tabla, todos los 5.

¿Cómo es la forma? ¿Os suena de algo?

En la sexta tabla, todos los 6.

¿Y ésta? ¿Se parece a alguna otra?

En la séptima tabla, todos los 7.

¿Os suena ésta?

En la octava tabla, todos los 8.

¿Y ésta?

En la novena tabla, todos los 9.

Vaya, parece que ésta es totalmente diferente al resto.

Cuarto: RELACIONAR LAS FORMAS

Ahora podemos investigar por qué algunas de las formas dibujadas se parecen.

 ¿Cuáles son simétricas? ¿Cuál es única, y no se parece a ninguna otra?

¿Cómo se relaciona esto con las descripciones de filas y columnas que hemos observado en el apartado Segundo?

Puedes dibujar las que son simétricas en un mismo cuadradito, y ver qué forma queda.

Puedes sumar las que son simétricas… y ver cuál es la que no suma con ninguna, y entender por qué.

Las respuestas, si las necesitas, están al final de la entrada.

Quinto: ENSANCHAR LA VISIÓN

Se puede seguir adelante con la plantilla: ir más allá del 9, seguir con el 10, el 11, el 12… hasta el 20, el 30, el 100… Pondremos las tablas del 11x11, 12x12, etc, ensanchando cada vez más el cuadrado, y luego sacaremos la raíz digital de esos resultados.

¿Qué pasará? ¿Qué hay, si es que hay, más allá del 9, del horizonte? Pruébalo.

Al final de la entrada, hay un comentario al respecto.

Sexto: BUSCAR MÁS SIMETRÍAS

La tabla de las raíces digitales tiene más simetrías escondidas: hemos visto que la fila 1 era como la columna 1, pero ¿qué hay de las diagonales? Y, al trazar una diagonal, ¿qué hay de lo que queda a cada lado de la diagonal?

Busca más simetrías en la tabla, descartando los 9 del “marco”. Piensa cómo todos los números naturales se rigen por estas simetrías, que “embaldosan” el plano…

Séptimo: LA ESTRELLA DE 9 PUNTAS

Hay tres formas de dibujar la estrella de 9 puntas:

¿Notas algo en los números que salen? Lee las secuencias, verás cómo te suenan.

Hay un comentario al final de la entrada.

*Respuestas a las raíces digitales del punto “Primero”: 3,8,4,1,2,9.

*Respuestas a las preguntas de relacionar las formas del punto “Cuarto”: son simétricas las que suman 9: 8 y 1, 7 y 2, 3 y 6, 4 y 5; el 9 no se parece a ninguna, y no suma con ninguna (porque no hay una "tabla del 0"). Cuando en los dibujos hay simetrías, aparece también una correspondencia en los números: las filas 1 y 8 son, respectivamente, los naturales del 1 al 8 en orden ascendente y descendente; las filas 3 y 6 tienen esas secuencias con el 3, el 6 y el 9; etc. Existe una relación entre el 2 y el 7, el 1 y el 8, el 3 y el 6, el 4 y el 5, debido a que suman 9.

*Comentario al punto “Quinto”: el cuadrado de las raíces digitales de las tablas de multiplicar EMBALDOSA EL PLANO, hasta el infinito. Los números a multiplicar van variando, pero la tabla se mantiene inalterable, en un mar de baldosas, donde las filas y columnas de 9 son la unión, la masilla que mantiene a las piezas en su sitio. ¿Es ésta es la esencia del 9?

*Comentario al punto “Séptimo”: resulta que los números que “cantan” las estrellas de 9 puntas ¡son los mismos que salen en la tabla de raíces digitales!

-Primera manera de hacer la estrella: empezar por el punto 2 y saltar de 2 en 2: sale la secuencia  2,4,6,8,1,3,5,7, (9). Corresponde a las filas del 2 y el 7.

-Segunda manera: empezar por el punto 3 y saltar de 3 en 3: sale la secuencia 3,6,9, y se repite (ya que estamos dándole vueltas a un triángulo equilátero). Corresponde a las filas del 3 y el 6.

-Tercera manera: comenzar por el punto 4 y saltar de 4 en 4: sale la secuencia 4,8,3,7,2,6,1,5, (9). Corresponde a las filas del 4 y el 5.

-Cuarta manera: no es una estrella, es el eneágono: es lo que ocurre si empezamos en el punto 1 y saltamos de 1 en 1. Salen los números naturales, en orden. Corresponde a las filas 1 y 8.