El Nueve, de nuevo

Por si tiene interés, he decidido incluir unas experiencias con el Nueve. Son una “unidad didáctica” (en jerga pedagógica) para comprender el Nueve… y lo que implica contar en base 10.

Cualquiera que se sepa las tablas de multiplicar, o algunas de ellas, puede hacer estos ejercicios. Son entretenidos, complacerán a los que tengan mentes "ordenadas"... y también a quienes les guste más el lado "artístico" de la geometría.

No encontraréis aquí una explicación detallada de las funciones de este número:  para eso, id a la sección del Nueve.

Se tratará de ver, a través de varios ejercicios numéricos y geométricos, cómo el Nueve constituye el límite de nuestros números y del sistema decimal. Esta cualidad de “horizonte” se puede apreciar usando la raíz digital de las tablas de multiplicar, en su aspecto numérico y geométrico;  también aparece en la estrella de nueve puntas.

Primero: APRENDER QUÉ ES LA RAÍZ DIGITAL

El hecho de que tengamos números del 1 al 9 implica que cualquier número puede ser reducido a una de estas cifras: 1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Hay dos formas de hacerlo:

-sumando las cifras de un número (puede ser sucesivas veces) hasta llegar a un número de una sola cifra: 127 sería 1+2+7=10, que sería 1+0=1. Raíz digital de 127: es 1.

-restando 9 del número que sea, tantas veces como sea necesario, hasta que quede una cifra del 1 al 9: por ejemplo, a 127 le podemos restar 9, 14 veces: es decir, 9x14= 126; 127-126=1. Raíz digital de 127: es 1, como ya sabíamos. Este método, en inglés, se llama “casting out nines”, es decir “descartando nueves”.

Puedes practicar un poco con varios números, hasta que lo tengas bien claro… hasta que vayas por la calle, y alguien te pregunte: “perdone, ¿me podría decir la raíz digital de 2.086?” y, sin dudarlo,  afirmes convincentemente: “por supuesto: es 7”.

Intenta, por ejemplo, sacar la raíz digital de: 57, 908, 4.441, 73, 7.004 y 405. Las respuestas, por si las necesitas, salen al final de la entrada.

Segundo: LAS TABLAS DE MULTIPLICAR, Y SU RAÍZ DIGITAL

Vamos a trabajar con las raíces digitales de las tablas de multiplicar. 

Aquí están los resultados de las tablas de multiplicar, puestos en forma de tabla, valga la redundancia:

1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	18	27	36	45	54	63	72	81

Si les sacamos la raíz digital, queda otra tabla muy especial. Ésta:

1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	4	6	8	1	3	5	7	9
3	6	9	3	6	9	3	6	9
4	8	3	7	2	6	1	5	9
5	1	6	2	7	3	8	4	9
6	3	9	6	3	9	6	3	9
7	5	3	1	8	6	4	2	9
8	7	6	5	4	3	2	1	9
9	9	9	9	9	9	9	9	9

Con esta tabla, mirando sus filas y columnas, empezaremos a entender  el sistema decimal “desde sus tripas”. Observemos estos patrones:

*filas y columnas son iguales: la fila 1 es igual que la columna 1, la fila 2 es igual que la columna 2, y así sucesivamente.

*fila/columna 1: son los números naturales, del 1 al 8; y el 9.

*fila/columna 2: primero los pares: 2,4,6,8 y luego los impares 1,3,5,7; y el 9, al final.

*fila/columna 3: “3,6,9” repetidos.

*fila/columna 4: 4,3,2,1 y 8,7,6,5 intercalados; y el 9, al final.

*fila/columna 5: 5,6,7,8 y 1,2,3,4 intercalados; y el 9, al final.

*fila/columna 6: “6,3,9” repetidos.

*fila/columna 7: primero los impares en orden descendente:  7,5,3,1,  y luego los pares, igualmente en orden descendente:  8,6,4,2 ; y el 9, al final.

*fila/columna 8: los números naturales del 8 al 1 en orden descendente; y el 9, al final.

*fila/columna 9: todo 9,9,9,9,9...

Tercero: DIBUJAR LAS FORMAS

Hay que disponer de un cuadrado así (con las raíces digitales de las tablas de multiplicar) para cada cifra del 1 al 9; es decir, 9 tablas. Y algunos más, para jugar con las formas. 

Aquí hay una plantilla para imprimir:

En cada cuadradito de la plantilla vamos a investigar a un número: en la primera tabla, marcaremos todos los 1.

¿Qué forma queda? ¿Es en forma de huso, como un pez sin cola?

En el segundo cuadradito de números, marcaremos todos los 2, uniéndolos.

¿Queda como un rectángulo?

En el tercer cuadrado, todos los 3.

¿Sale una cruz?

En el cuarto cuadradito, todos los 4.

 ¿Sale parecido al 1, pero más redondo?

En la quinta tabla, todos los 5.

¿Cómo es la forma? ¿Os suena de algo?

En la sexta tabla, todos los 6.

¿Y ésta? ¿Se parece a alguna otra?

En la séptima tabla, todos los 7.

¿Os suena ésta?

En la octava tabla, todos los 8.

¿Y ésta?

En la novena tabla, todos los 9.

Vaya, parece que ésta es totalmente diferente al resto.

Cuarto: RELACIONAR LAS FORMAS

Ahora podemos investigar por qué algunas de las formas dibujadas se parecen.

 ¿Cuáles son simétricas? ¿Cuál es única, y no se parece a ninguna otra?

¿Cómo se relaciona esto con las descripciones de filas y columnas que hemos observado en el apartado Segundo?

Puedes dibujar las que son simétricas en un mismo cuadradito, y ver qué forma queda.

Puedes sumar las que son simétricas… y ver cuál es la que no suma con ninguna, y entender por qué.

Las respuestas, si las necesitas, están al final de la entrada.

Quinto: ENSANCHAR LA VISIÓN

Se puede seguir adelante con la plantilla: ir más allá del 9, seguir con el 10, el 11, el 12… hasta el 20, el 30, el 100… Pondremos las tablas del 11x11, 12x12, etc, ensanchando cada vez más el cuadrado, y luego sacaremos la raíz digital de esos resultados.

¿Qué pasará? ¿Qué hay, si es que hay, más allá del 9, del horizonte? Pruébalo.

Al final de la entrada, hay un comentario al respecto.

Sexto: BUSCAR MÁS SIMETRÍAS

La tabla de las raíces digitales tiene más simetrías escondidas: hemos visto que la fila 1 era como la columna 1, pero ¿qué hay de las diagonales? Y, al trazar una diagonal, ¿qué hay de lo que queda a cada lado de la diagonal?

Busca más simetrías en la tabla, descartando los 9 del “marco”. Piensa cómo todos los números naturales se rigen por estas simetrías, que “embaldosan” el plano…

Séptimo: LA ESTRELLA DE 9 PUNTAS

Hay tres formas de dibujar la estrella de 9 puntas:

¿Notas algo en los números que salen? Lee las secuencias, verás cómo te suenan.

Hay un comentario al final de la entrada.

*Respuestas a las raíces digitales del punto “Primero”: 3,8,4,1,2,9.

*Respuestas a las preguntas de relacionar las formas del punto “Cuarto”: son simétricas las que suman 9: 8 y 1, 7 y 2, 3 y 6, 4 y 5; el 9 no se parece a ninguna, y no suma con ninguna (porque no hay una "tabla del 0"). Cuando en los dibujos hay simetrías, aparece también una correspondencia en los números: las filas 1 y 8 son, respectivamente, los naturales del 1 al 8 en orden ascendente y descendente; las filas 3 y 6 tienen esas secuencias con el 3, el 6 y el 9; etc. Existe una relación entre el 2 y el 7, el 1 y el 8, el 3 y el 6, el 4 y el 5, debido a que suman 9.

*Comentario al punto “Quinto”: el cuadrado de las raíces digitales de las tablas de multiplicar EMBALDOSA EL PLANO, hasta el infinito. Los números a multiplicar van variando, pero la tabla se mantiene inalterable, en un mar de baldosas, donde las filas y columnas de 9 son la unión, la masilla que mantiene a las piezas en su sitio. ¿Es ésta es la esencia del 9?

*Comentario al punto “Séptimo”: resulta que los números que “cantan” las estrellas de 9 puntas ¡son los mismos que salen en la tabla de raíces digitales!

-Primera manera de hacer la estrella: empezar por el punto 2 y saltar de 2 en 2: sale la secuencia  2,4,6,8,1,3,5,7, (9). Corresponde a las filas del 2 y el 7.

-Segunda manera: empezar por el punto 3 y saltar de 3 en 3: sale la secuencia 3,6,9, y se repite (ya que estamos dándole vueltas a un triángulo equilátero). Corresponde a las filas del 3 y el 6.

-Tercera manera: comenzar por el punto 4 y saltar de 4 en 4: sale la secuencia 4,8,3,7,2,6,1,5, (9). Corresponde a las filas del 4 y el 5.

-Cuarta manera: no es una estrella, es el eneágono: es lo que ocurre si empezamos en el punto 1 y saltamos de 1 en 1. Salen los números naturales, en orden. Corresponde a las filas 1 y 8.