¿Del Uno al Diez, o del Uno al Doce? Tablero de multiplicar y bases

El sistema decimal es el más usado y conocido en España hoy día. Eso no quiere decir que sea el único, ni mucho menos el más antiguo. El metro se inventó después de la Revolución Francesa, a finales del siglo XVIII. Hasta entonces, existía una gran diversidad de sistemas de medida, que variaban de región a región.

Es cierto que tenemos diez dedos en las manos, y eso facilita el contar de diez en diez. Pero la base 10 no es la única: los ordenadores funcionan en base 2, y parece que les va bien. Hay sistemas métricos que funcionan en base 12; nosotros aún contamos los huevos por docenas.

El 12 es divisible entre 2, 3, 4 y 6 (además de entre 1 y 12), mientras que el 10 se puede repartir solamente entre 2 y entre 5 (además de entre 1 y entre 10). Lo que esto indica es que el 12 es mucho más fácil de dividir y subdividir que el 10. Si tenemos un cuadrado de lado=12, fácilmente encontraremos su cuarta parte, su tercio, su mitad, su sexta parte. Con un cuadrado de lado=10, podemos encontrar la mitad, pero si queremos el cuarto o el tercio hemos de empezar a trabajar con, al menos, dos decimales.

Usando un tablero redondo, se puede ver esto gráficamente. Este tablero sirve para aprender de forma visual las tablas de multiplicar. Dado que funcionamos en base 10, tiene 10 números, del 0 al 9.

Esto es la representación de la tabla del uno: 1 vez 1 es 1, 2 veces 1 es 2… el cordelito va de resultado a resultado, del 1 al 2, del 2 al 3, hasta llegar de nuevo al 0, que esta vez representa un 10. Si le damos la vuelta y lo miramos como una división, vemos que 10 entre 1 da 10, y eso es lo que hemos dibujado, un decágono.

Curioso: sirve también para la tabla del nueve, lo que ocurre es que entonces empezamos por el 9 y vamos hacia atrás: 9, 8 (18), 7 (27), 6 (36)… Pero queda el mismo dibujo.

Éste que viene ahora es la tabla del dos: 2, 4, 6, 8, 0 (10) y otra vez 2 (12, 4 (14), etc. Sólo pasamos por los pares. Si lo pensamos como una división, vemos que 10 entre 2 da 5, y eso es lo que nos ha quedado: un pentágono.

El ocho se comporta igual, pero en sentido contrario.

La siguiente foto es la representación de la tabla del tres: 3, 6, 9, 2 (12), 5 (15), 8 (18), 1 (21), 4 (24), 7 (27) y 0 (30). Pasa por todos los números, dibujando una estrella decagonal. Como 10 no es divisible entre 3, no encontramos una forma “entera” hasta que llegamos al 30.

El 7 hace lo mismo pero en orden inverso. 

Ahora viene la tabla del cuatro: 4, 8, 2 (12), 6 (16), 0 (20), y otra vez 4 (24), 8 (28)… Pasa solamente por los pares, dibujando una estrella pentagonal. Como 10 no es divisible entre 4, no nos sale una forma “entera” hasta que llegamos al 20: 2 veces 10, y 5 veces 4.

El 6 hace lo mismo, empezando por el otro lado.

Y entonces, ¿qué pasa con el 5, con la tabla del cinco?

Imagina cómo queda el tablero con el cinco.

Si representamos la tabla del 10, nos quedará un punto grande en el 0, que querrá decir que vamos de 10 a 20, a 30, a 40… no nos movemos del 0.

Así pues, ésta es la base 10. Hay dos posibilidades (sin contar ni el 1, ni el 10) de que el tablero nos muestre una forma no estrellada, rodando de menor a mayor, que encaje en el 10. Sólo dos maneras.

Ahora vamos a pensar en la base 12. Se puede representar fácilmente sobre un reloj de esfera, con las horas del 1 al 12. ¿Cuántas formas no estrelladas y que rueden en sentido ascendente obtendremos?

El 1, que forma un dodecágono (como el 11).

El 2, que forma un hexágono (igual que el 10).

El 3, que forma un cuadrado (como el 9).

El 4, que forma un triángulo (como el 8).

El 5, que no encaja exactamente (como el 7) y da una estrella de 12 puntas.

El 6, que dibuja un segmento entre 12 y 6.

El 12 vuelve sobre sí mismo una y otra vez, creando un punto.

Dibuja un reloj con 12 horas en su esfera, y traza las líneas, notando lo que implica la base 12, la abundancia de subdivisiones exactas que posee.

Entonces, ¿qué ventajas tiene usar una base, u otra? ¿Qué inconvenientes? Dependerá de lo que queramos contar. La base 12 se basa en el pie y en la pulgada, que miden la longitud a escala humana.

12 pulgadas son 1 pie.

3 pies son 1 yarda.

1760 yardas son 1 milla.

5280 pies son 1 milla.

Ahora, miremos si estas medidas sirven para cuerpos enormes, como la Tierra y la Luna:

Se dice que el radio de la Tierra son 3.960 millas. Son precisamente 11 veces 360 millas.

Se dice que el radio de la Luna son 1.080 millas. Son 3 veces 360 millas.

Parecería que la base 12 es apropiada, quizá más que la decimal, para medir cuerpos celestes. Hay muchos más ejemplos y, si investigáis, veréis que hay números que se repiten a menudo. Sin despreciar el sistema decimal, podemos abrirnos a las posibilidades del doce.

El Seis, el Doce y el círculo

El Seis y el círculo tienen mucho que ver. Si queremos dibujar un hexágono dentro de un círculo, no necesitaremos hacer demasiados cálculos: ¡el radio del círculo es igual al lado del hexágono!

 Esto implica que el Seis y el Uno están estrechamente unidos. Si queremos acercarnos lo más posible al círculo, usando rectas, nuestro número de elección será siempre el seis; o un múltiplo del seis, como el doce o el treinta y seis.

El hexágono se puede usar para “embaldosar” el plano de forma muy eficiente. Por eso los vendedores de fruta disponen las manzanas, peras, etc como si estuviesen dentro de un embaldosado hexagonal.

De hecho, caben más si se disponen “hexagonalmente”, en la misma caja, que así, en una cuadrícula:

El Seis es un número funcional y estructural. Participa de la fuerza del Tres, ya que un hexágono son seis triángulos:

Además, le agrega un componente de orden, de estructuración armónica.

Eso lo debían saber las abejas cuando diseñaron sus colmenas. La solución hexagonal es la que permite almacenar más miel usando menos cera, y aprovechando todo el espacio disponible.

Si queremos coser un paraguas o paracaídas, lo mejor será usar seis o doce varillas. Si queremos crear una rueda de carro o bicicleta, es buena idea que tenga doce, veinticuatro (12x2) o treinta y seis (12x3) radios; así será más aerodinámica y fuerte. 

Coge unas cuantas monedas iguales y comprueba cómo, si pones una en medio, alrededor caben exactamente… ¿cuántas?

El Seis está muy relacionado con el Tres, como hemos visto; también es pariente cercano de otro número: el Doce.

El Doce rebasa los límites del número tal y como lo habíamos visto hasta ahora, al ser mayor que 9 y poseer, por tanto, dos cifras. De todas formas, dada su relación con el Doce, podemos mirar ahora al número Doce y darnos cuenta de que hay, o hubieron:

-12 constelaciones zodiacales,

-12 meses en el año,

-12 apóstoles,

-12 tribus de Israel,

-12 horas en el reloj,

-12 trabajos de Hércules...

Puedes investigar la correspondencia entre los doce trabajos de Hércules y el desarrollo de un ser humano.

El primer trabajo consiste en reducir, sujetar, aquietar a las violentas yeguas de Diógenes, que representan a las partes de uno mismo que deben estar bajo el control de algo “superior”, porque de lo contrario pueden hacer daño. Hércules lo consigue, pero comete el error de encomendarle el final de la tarea a Abderis, que no es tan fuerte como él. Tragedia: Abderis acaba muerto. Moraleja: se necesita fuerza pero también perseverancia para lidiar con lo que el Yijing llamaría “los inferiores”, y nadie lo puede hacer por ti; si tus facultades superiores descuidan la tarea, estás perdido.

El segundo trabajo es la captura del toro de Creta…

La dimensión fractal

¿Qué es un fractal? Buena pregunta.

Todavía no lo sabemos del todo. O podríamos decir que no existe una definición única de fractal, sino una nube de características que pueden, o no, aplicarse a cada fractal que encontremos, pero que más o menos definen el concepto.

Esta imposibilidad de definición precisa, esta naturaleza caleidoscópica y difícilmente apresable de lo que se puede llamar “fractal”, es muy reveladora en sí misma. Después de siglos y siglos de matemáticas rectas y claras, parece que los números han empezado a enseñarnos sus ambigüedades, sus contradicciones. Como cuando nos parece que conocemos a alguien, pero de repente hace algo que jamás hubiéramos pensado que haría, y nos preguntamos: ¿quién es, en verdad: el de antes, o quien acabo de ver ahora? O ¿podrían ser las dos cosas a la vez? Durante unos cuantos años, lo que hoy conocemos por fractal fue desdeñado como una irregularidad no representativa: se les llamó “galería de monstruos”. Esto nos da una idea del esfuerzo que ha supuesto integrarlos en nuestro paradigma.

Vamos a ver cómo se dibujan. Empezamos con un fractal sencillo: cogemos un triángulo y le dibujamos un “pico”, como una punta, en cada uno de los lados. Y otra vez, y otra, y otra. Cada vez tenemos más puntas sobresaliendo, cada vez más pequeñitas. Este fractal se llama “el copo de nieve de Koch”.

Parece simple, hasta que nos damos cuenta de que encierra paradojas importantes:

-su área, ¿es finita? Seguro que sí. Porque si le dibujamos una circunferencia alrededor, nos damos cuenta de que nunca saldrá de ella. Cabe en una redonda: eso es seguro.

-su perímetro, ¿es finito? Siempre se puede ir más allá, siempre se pueden dibujar más puntas en los lados que van saliendo. El límite lo pone el papel, el lápiz, la materia… pero suponiendo un “zoom” cada vez mayor, en teoría se puede seguir hasta que uno quiera.

Eso supone una forma de área finita y perímetro, en potencia, infinito. Cuesta de imaginar, pero es justamente lo que tenemos delante. Miradlo aquí: http://es.wikipedia.org/wiki/Copo_de_nieve_de_Koch

(Si por casualidad pensáis que esto está  muy bien pero no deja de ser pura teoría, podéis reflexionar sobre “el enigma de la costa de Gran Bretaña”: ¿cuántos kilómetros tiene la costa de Gran Bretaña? Cada enciclopedia dice una cosa. Porque, si vamos al detalle, si hacemos un “zoom” cada vez mayor, la costa de cualquier isla acaba siendo como el copo de nieve de Koch, infinitamente larga…)

Por otro lado, dado que el copo de nieve de Koch es una forma plana, podemos suponer que tiene dos dimensiones… ¿o no? En realidad, el centro de la figura no lo tocamos, es como si no estuviera. Y el perímetro no deja de ser una línea, que se va alargando, alargando… entonces podemos suponer que es un objeto de una dimensión, como una línea larguísima… ¿o no?

Pues no. Se ha visto que hay otras formas de calcular la dimensión de un objeto, y que los fractales, mirados de esas maneras, tienen como dimensión una cifra no necesariamente entera. Puede ser una fracción: el copo de nieve de Koch tiene como dimensión fractal 1,26086… Eso también supone una paradoja para la mente. (Si queréis mirarlo en detalle, id a:

http://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:Fractales_por_dimensi%C3%B3n_de_Hausdorff )

Habiendo visto un fractal, podemos enumerar algunas de sus características:

-se genera a sí mismo, repitiendo una misma operación una vez tras otra;

-es igual a diferentes escalas, lo mismo "en pequeño" que visto desde más lejos, "en grande";

-es infinito, puede expandirse todo lo que queramos;

-su dimensión no tiene porqué ser 1, 2 o 3; de hecho, suele no serlo.

La belleza de los fractales, parecida a la de la proporción áurea, es a menudo orgánica, exuberante, impredecible, armoniosa y un reto para nuestro pensamiento, que no puede englobarla de manera simple (como englobaría, pongamos, un cuadrado).

Los fractales aparecen en multitud de formas naturales: las líneas de las costas, las formas de las nubes o los perfiles de cadenas montañosas; estructuras en forma de árbol, como las ramificaciones de los bronquios, del sistema circulatorio, de los ríos y sus afluentes… aquí vemos las vellosidades de nuestro intestino:

Cualquier lugar de unión, de transmisión, puede beneficiarse de una estructura fractal, que diversifica su superficie de forma sorprendente, para procurarle un mayor y más eficiente intercambio, mayor absorción, más comunicación. Se ha visto que disponer antenas de comunicaciones en forma de fractales potencia su efectividad.

Veamos otros ejemplos de fractales. Este es el llamado "polvo de Cantor", una línea que se disgrega hasta el infinito.

Un fractal en tres dimensiones que podemos encontrar en la verdulería:

Dibujar fractales puede convertirse en una tarea complicada. Por eso, se han desarrollado a la par que los ordenadores, desde mediados del siglo XX hasta hoy. Está claro que existen desde que existen las nubes, pero que hemos necesitado herramientas tecnológicamente avanzadas para comprenderlos y llegar a dibujarlos. A partir de fórmulas muy simples, pero introduciéndoles números complejos, y usando herramientas de trabajo potentes, se obtienen formas sorprendentes.

Busca “conjunto de Mandelbrot” en internet, y sumérgete en la grandiosidad de su dimensión. Cada parte del conjunto es infinita, y por lo tanto hay lugares de este conjunto, que ha sido llamado “fractal de fractales”, que nadie ha explorado aún…

El Cinco y la divina proporción

El Cinco, el pentágono, y la estrella pentagonal están íntimamente relacionados con otro concepto: la divina proporción o proporción áurea.

¿Qué es la proporción áurea? Antes que nada, ¿qué es una proporción? Es una relación. Se dice que una persona, edificación u obra de arte está bien proporcionada, cuando sus partes encajan bien unas con otras, cuando forman una unidad que nos parece armoniosa.

Entonces, resulta que una proporción es la forma en que alguna cosa está en relación con otra. Matemáticamente, esto puede expresarse mediante la división. Por ejemplo, si vamos a 60 km/h, quiere decir que hay dos conceptos que van relacionados: 60 km y 1 hora.

La divina proporción, o proporción áurea, es una relación muy especial que puede darse entre números, entre partes de realidades. Está muy presente en la naturaleza, y también se puede expresar matemáticamente. Para hacerlo, tendremos que mirar una hilera de números conocidos como la serie de Fibonacci. Es una serie que empieza de la nada pero llega al infinito (es decir, crece tanto como nosotros queramos) muy rápidamente:

0-1-1-2-3-5-8-13-21-34-55-89-144-233-377…

¿Cómo saber qué número sigue? Hay que sumar los dos anteriores. Así, 0 y 1 es 1, 1 y 1 son 2, 2 y 1 son 3, y así sucesivamente.

Vemos cómo, con rapidez, las cifras se hacen enormes. Vamos a ver qué pasa con su proporción, con la relación entre unas y otras. Para eso, dividimos cada número de la serie entre el anterior:

1/0 no se puede, no sabemos lo que es

1/1 da 1

2/1 da 2

3/2 da 1,5

5/3 da 1,6666666666…

8/5 da 1,6

13/ 8 da 1,625

21/13 da 1,615384615…

34/21 da 1,619047619…

55/34 da 1,617647058…

89/55 da 1,618618618…

144/89 da 1,617977528…

233/144 da 1,61805555…

377/233 da 1,618025751…

Se puede seguir para siempre, y la cifra obtenida en la división se va haciendo cada vez más “precisa”, se van “concretando” cada vez más decimales. Sin embargo, dado que la serie es infinita, ese número también lo es. Se le llama el número áureo, o Φ, que se pronuncia “fi”.

Lo curioso es que se puede coger cualquier pareja de números enteros, la que queramos, y acaba pasando lo mismo. Imaginemos que cogemos el 4 y el 789, nos queda una serie que, aunque no es la de Fibonacci, se acaba comportando como si lo fuera:

4-789-793-1582-2375-3957…

789/4 da 197,25

793/789 da 1,005069708…

1582/793 da 1,994955863…

2375/1582 da 1,501264222…

3957/2375 da 1,666105263…

La división se acaba aproximando, aunque más lentamente, al mismo número áureo de la serie de Fibonacci: Φ.

Entonces, ¿qué tiene esta proporción de tan especial, que hace que esté por todas partes? Para empezar, se suele explicar que es fácil hallarla en la naturaleza, en la disposición de las ramas de los árboles, en el crecimiento de las poblaciones de animales, en la forma de las conchas de los caracoles… infinitud de otros detalles del mundo natural  se pueden entender según esta proporción.

Por ejemplo, la relación entre nuestra última falange y todo el dedo da Φ. También da Φ si divides la longitud del antebrazo entre la de la mano. En el cuerpo humano hay muchos ejemplos de proporción áurea.

Si dividimos la longitud de un huevo entre su anchura, da Φ.

Las espirales que hay en los girasoles, o en las piñas: si contamos las espirales que giran hacia un lado, y las dividimos entre el número de espirales que giran hacia el lado contrario, da Φ. Suelen ser números de la serie de Fibonacci: 89 espirales hacia un lado y 144 hacia el otro, por ejemplo.

Si representamos a Φ en forma de espiral, disponiendo una serie de cuadraditos de lado 1-1-2-3-5-8-13... etc, obtenemos una forma interesante.

 

Esta espiral nos recuerda a ciertos caracoles, o al cuerno de una cabra. Mantiene un ángulo constante en su giro, de manera que su centro de gravedad nunca varía: se puede partir un trozo del cuerno, y el equilibrio de la cabra no se ve afectado.

El Cinco tiene esta cualidad exuberante, de una cierta dispersión, que hace que se mueva fácilmente hacia la espiral, al tiempo que reacciona “mal” en el plano de dos dimensiones: no podemos embaldosar un suelo con pentágonos, nos quedan agujeritos irregulares por llenar. Al contrario que el triángulo, el cuadrado y el hexágono, el Cinco no cubre una superficie plana; a cambio, despliega espirales que inundan el espacio.

Hemos dicho que la proporción áurea se relaciona con el Cinco, con el pentágono, y que está presente en la estrella pentagonal. Recordemos que el quinto elemento, el éter, tiene que ver con el dodecaedro, ese sólido platónico que tiene precisamente las caras pentagonales, y que representa el fluir de la vida, la fuerza que anima a los cuatro elementos básicos (agua, fuego, tierra, aire).  Pues mirad cómo aparece Φ en estas formas, relacionadas con el Cinco:

 En esta estrella pentagonal, el segmento rojo dividido entre el azul da lo mismo que el segmento azul dividido entre el verde, o que el verde dividido entre el violeta. Estas relaciones son la esencia de la proporción áurea: que el todo sea a la parte grande, lo mismo que la parte grande a la pequeña.

La proporción áurea se puede seguir estudiando… hasta el infinito:

-Matemáticamente, la serie de Fibonacci posee una lógica interna que nos permite encontrar muchísimas relaciones entre sus términos (más allá de que los dos anteriores, sumados, dan el posterior).

-En la naturaleza, encontraremos infinitos ejemplos de su belleza y armonía, en esta página sólo aparecen unos pocos.

-Simbólicamente, podemos seguir estudiando la forma del pentágono, y la estrella pentagonal, que han sido y son usados ampliamente, desde la magia ceremonial hasta en multitud de banderas.

Una forma muy bella de comprender más la divina proporción es mirar espirales. Contempla la espiral que forman las hojas de una planta vista desde arriba, y cómo se organizan para tomar todas la luz del sol.

Enciende un incienso y mira cómo el humo sale en espiral, topando con la resistencia del aire, perdiendo temperatura y, finalmente, dispersándose.

Busca un capitel jónico, con sus volutas, y prueba a dibujar esa espiral, notando el recorrido de la energía.

Geometría sagrada

Cierto es que la geometría sagrada existe.  Podríamos preguntarnos si existe lo contrario, la geometría no sagrada. De hecho, es el cambio en la mirada lo que transforma en sagrado lo profano.

Bien es cierto que no todas las formas sirven para todos los propósitos. Lo sagrado es conseguir que la forma y la función se correspondan: que la forma apoye a la vida, de forma que la vida pueda seguir generando formas.

Pero, ¿a qué suele referirse la gente, cuando habla de geometría sagrada? Entre otras cosas, suelen hacer referencia a la flor de vida, al cubo de Metatrón, o a los sólidos platónicos. Veamos cómo, sorprendentemente, estas tres partes de la geometría están relacionadas.

Una manera de entrar en la geometría sagrada es a través una historia de la Creación: se puede relacionar el desarrollo de una serie de formas geométricas con la manera en que fue creado el universo. Hablando en números, empezaremos por el uno; y entendiendo el punto como el inicio, iremos añadiendo complejidad a ese punto (origen de una circunferencia), pasando por sucesivas vesica piscis, hasta llegar a una forma llamada la semilla de vida:

De ahí seguiremos avanzando con nuestro compás, sin variar jamás el radio, hasta llegar a la flor de vida.

De la flor podemos pasar al fruto de la vida. ¿Cómo? Nos quedaremos solamente con aquellas circunferencias que irían "sobre las aristas de un asterisco", y añadiremos otra redonda más a cada arista:

Hasta aquí toda la creación ha consistido en círculos, aunque es posible hacer lo mismo con segmentos. Vamos a ver qué pasa si unimos los centros de las circunferencias del fruto de la vida, todos con todos:

Pues ocurre que obtenemos el cubo de Metatrón. El nombre le viene por un arcángel. Es una forma bellísima, simple de construir si entendemos su lógica. Y en ella están ocultos los cuatro ladrillos de la realidad, los cuatro sólidos platónicos. Los encontraréis si los buscáis:

El tetraedro:

El cubo:

El octaedro:

El icosaedro:

Y hasta podríais encontrar el quinto elemento, el dodecaedro, añadiendo unas aristas pequeñas para que quepa perfectamente:

Se suele hablar también de otro sólido, el tetraedro estrellado, presente asimismo en el cubo de Metatrón.

Si queréis profundizar en la geometría sagrada, encontraréis mucha información. Recordad los tres usos de las matemáticas, especialmente el tercero; ved hasta dónde queréis implicaros; y adelante.

Puedes empezar por dibujar la semilla de vida, cosa fácil y muy agradable. ¿Qué sensación sientes delante de esta forma? ¿Quieres seguir con la flor, el fruto, y el cubo de Metatrón?